(六)不等式选讲1．(2017·唐山月考)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|mx－1|.(1)若m＝1，求f(x)的最小值，并指出此时x的取值范围；(2)若f(x)≥2x，求m的取值范围．解(1)当m＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－1|≥|(x＋1)－(x－1)|＝2，当且仅当(x＋1)(x－1)≤0时取等号，故f(x)的最小值为2，此时x的取值范围是[－1,1]．(2)当x≤0时，f(x)≥2x显然成立，所以此时m∈R；当x>0时，由f(x)＝x＋1＋|mx－1|≥2x，得|mx－1|≥x－1.由y＝|mx－1|及y＝x－1的图象，可得|m|≥1且≤1，解得m≥1或m≤－1.综上所述，m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．2．已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)>1；(2)当x>0时，函数g(x)＝(a>0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围．解(1)当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，此时不成立；当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，解得x<0，即－1≤x<0；当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，解得x<－1.综上，原不等式的解集是{x|x<0}．(2)因为g(x)＝ax＋－1≥2－1，当且仅当x＝时等号成立，所以g(x)min＝g＝2－1.当x>0时，f(x)＝所以f(x)∈[－3,1)．所以2－1≥1，解得a≥1.所以实数a的取值范围为[1，＋∞)．3．设f(x)＝|ax－1|.(1)若f(x)≤2的解集为[－6,2]，求实数a的值；(2)当a＝2时，若存在x∈R，使得不等式f(2x＋1)－f(x－1)≤7－3m成立，求实数m的取值范围．解(1)显然a≠0.f(x)≤2可化为－1≤ax≤3，当a>0时，解集为，易知－＝－6，＝2，无解；当a<0时，解集为，易知－＝2，＝－6，解得a＝－.综上所述，a＝－.(2)当a＝2时，令h(x)＝f(2x＋1)－f(x－1)＝|4x＋1|－|2x－3|＝由此可知，h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当x＝－时，h(x)取得最小值－，由题意知7－3m≥－，解得m≤.所以实数m的取值范围是.4．设f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.(1)求f(x)≤x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．解(1)由f(x)≤x＋2，有或或解得0≤x≤2，所以所求的解集为[0,2]．(2)＝≤＝3，当且仅当≤0时取等号．由不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x－1|＋|x＋1|≥3，即或或解得x≤－或x≥.所以所求x的取值范围为∪.5．不等式|x2＋3x－18|<6－2x的解集为{x|a
