学业分层测评(三)1.5直角三角形的射影定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6cm和4cm，则斜边上的高是()A.2cmB.2cmC.10cmD.24cm【解析】设斜边上的高是xcm，由射影定理得，x2＝6×4＝24，∴x＝2.【答案】B2.一个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边上的高为2.4cm，则这个直角三角形的面积为()A.6cm2B.7.2cm2C.12cm2D.24cm2【解析】长为3cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，故由射影定理，知斜边长为＝5(cm)，所以三角形的面积为×5×2.4＝6(cm2).【答案】A3.如图1165所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高，已知BD＝4，AB＝29，则BC＝()图1165A.B.2C.3D.4【解析】因为BD＝4，AB＝29，由直角三角形的射影定理有BC2＝BD·AB＝4×29，即BC＝2.【答案】B4.如图1166，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝12，BC＝5，则CD的长为()图1166A.B.C.D.【解析】AB＝＝＝13， AD·AB＝AC2，BD·AB＝BC2，∴AD＝＝，BD＝＝.又CD2＝AD·BD，∴CD＝＝.【答案】B15.设直角三角形ABC的直角边AB＝2，AC＝2，那么它们在斜边BC上的射影的长依次为()A.2,2B.2,3C.1,3D.4,12【解析】两直角边在BC上的射影分别为BD，CD.由射影定理知：AB2＝BD·BC，BD＝＝＝1，同理CD＝＝＝3.【答案】C二、填空题6.如图1167，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，则CD的长为__________.图1167【解析】在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°，∴∠C＋∠B＝90°，∴∠BAC＝90°，∴在Rt△BAC中，AD⊥BC，由射影定理可知，AD2＝BD·CD，∴62＝8×CD，∴CD＝.【答案】7.△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝6，BD＝12，则AB2∶AC2＝__________.【导学号：96990012】【解析】如图，AB2＝AD2＋BD2，AB＝6，由射影定理可得，AB2＝BD·BC，BC＝＝15.∴CD＝BC－BD＝15－12＝3.由射影定理可得，AC2＝CD·BC.∴＝＝＝＝4.【答案】48.如图1168，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝__________.图1168【解析】由射影定理得：AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝，即BC2＝.而BD＝－AD＝－3.6，∴BC2·AD＝AC2·(－3.6)，3.6BC2＝36－3.6×36，解得BC＝8.【答案】82三、解答题9.已知直角三角形周长为48cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长.【解】(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为：20cm,12cm,16cm.(2)作CF⊥AB于F，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝＝＝(cm)；同理：BF＝＝＝(cm).∴两直角边在斜边上的射影长分别为cm，cm.10.如图1169，四边形ABCD是正方形，E为AD上一点，且AE＝AD，N是AB的中点，NF⊥CE于F.图1169求证：FN2＝EF·FC.【证明】分别连接NE，NC.设正方形的边长为a. AE＝a，AN＝a，∴NE＝＝. BN＝a，BC＝a，∴NC＝＝. DE＝a，DC＝a，∴EC＝＝.∴NE2＝，NC2＝，EC2＝，∴NE2＋NC2＝，∴NE2＋NC2＝EC2，∴EN⊥CN，∴FN2＝EF·FC.能力提升]1.在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为()【导学号：96990013】A.2∶3B.4∶9C.∶3D.不确定【解析】如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，即＝.3又 ∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.又 AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝x.∴△ACD与△CBD的相似比为＝＝，即相似比为∶3.【答案】C2.如图1170，在△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中，一定能确定△ABC为直角三角形的个数为()图1170①∠1＝∠A；②＝；③∠B＋∠2＝90°；④BC∶AC∶AB＝3∶4∶5A.1B.2C.3D.4【解析】①能. ∠1＋∠B＝90°，若∠1＝∠A，则∠A＋∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形.②能.若＝，则CD2＝AD·BD.∴AB2＝(AD＋BD)2＝AD2＋BD2＋2AD·BD＝AD2＋BD2＋2CD2＝(AD2＋C...
