课时作业6函数的奇偶性与周期性一、选择题1．下列函数中，为奇函数的是()A．y＝2x＋B．y＝x，x∈{0,1}C．y＝x·sinxD．y＝解析：因为y＝2x＋≥2，所以它的图象不关于原点对称，故A不是奇函数；选项B定义域不关于原点对称，故B不是奇函数；设f(x)＝xsinx，因为f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以y＝xsinx是偶函数，故选D.答案：D2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A．－3B．－1C．1D．3解析：因为f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x.所以f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.答案：A3．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：`f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，g(x)是偶函数，则g(－x)＝g(x)，则f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，选项A错；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，选项B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，选项C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)g(x)|，D错．故选C.答案：C4．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0
a>c.答案：A15．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝－，且f(0)＝1，则f(2016)等于()A．1B．－1C．2D．－2解析：f(x＋4)＝－，所以f(x＋8)＝－＝f(x)．所以f(2016)＝f(252×8)＝f(0)＝1.故选A.答案：A6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析： f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－20时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：因为f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，所以当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.答案：－－18．已知函数f(x)为奇函数，函数f(x＋1)为偶函数，f(1)＝1，则f(3)＝________.解析：根据条件可得f(3)＝f(2＋1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.答案：－19．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)10．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋202－1＝.答案：三、解答题11．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.12．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上...
