高二数学解析几何第二章第3单元椭圆知识精讲 人教版VIP专享VIP免费

高二数学解析几何第二章第3单元椭圆知识精讲人教版一.本周教学内容：新课预习：《解析几何》第二章第3单元“椭圆”§2.7椭圆及其标准方程；§2.8椭圆的几何性质二.重点、难点：1.什么是椭圆？椭圆是这样的一种平面曲线：到两个定点F1、F2的距离之和为常数（该常数大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。把这两个点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。椭圆是一种常见的曲线，如汽车油罐横截面的轮廓，天体中一些行星和卫星运行的轨道，再如我们在立体几何中画圆柱、圆锥的底面时，即画圆的直观图时也画的是椭圆。2.求椭圆的方程：注意到椭圆的对称特征，因此我们选择它的两条对称轴分别作为x轴、y轴，建立直角坐标系。F1OF2M设（，）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为（）Mxycc20则（，），（，）FcFc1200由椭圆的定义，可知（常数）||||MFMFa122即()()xcyxcya22222化简，得()()acxayaac22222222另外，由椭圆定义可知，，即，22022acacac为进一步简化上述方程，不防设（）则acbb2220有bxayab222222两边同除以，可得椭圆的方程为（）abxaybab22222210该方程称为椭圆的标准方程或说标准方程表示的椭圆是中心位于坐标原点、焦点在坐标轴上的椭圆。3.如何认识椭圆的标准方程？（1）焦点在y轴上，且椭圆的中心在坐标原点的椭圆的方程为yaxbab222210（）这是椭圆标准方程的另一形式（2）标准方程有明显的代数特征：只含x、y的二次项，缺xy的项，左式是两个二次项之和的形式，右式为常数1。（3）若焦点在x轴上，则标准方程中x2所对应的分母为a2，若焦点在y轴上，则标准方程中y2所对应的分母为a2，而a2是两分母中较大者。（）标准方程中左式的两个分母，且4abab222200（5）a、b的大小确定了椭圆的大小，是椭圆的定形条件；而焦点F1、F2的位置是椭圆的定位用心爱心专心条件，它决定着椭圆标准方程的类型：若、在轴上，则标准方程为；FFxxayb1222221若、在轴上，则标准方程为FFyyaxb1222221（6）需要注意的是，当坐标系选择得适当，椭圆的方程才可能为标准形式，即以椭圆中心为原点，焦点在x轴（或y轴）上时，椭圆的方程才具有标准形式。否则，椭圆的方程形式可能很冗长而缺少简洁美。4.椭圆的几何性质（我们将通过研究其标准方程的代数特性来求得其几何性质）（）由，可得1101122222222xaybxaybaxa同理byb可见椭圆位于直线，围成的矩形内yaxa这一点表明了椭圆在坐标平面内的基本位置（）由易看到，若（，）在椭圆上，则关于轴、轴的对称点21222200xaybPxyPxyPxyPxy100200（，），，()依然满足方程，即P1、P2仍然在椭圆上，可见椭圆xaybxy22221关于轴、轴对称。（）令，得；令，得300xybyxa即椭圆与轴的交点为（，），（，），与轴的交点为xaybxAaAay222212100BbBb1200（，），（，），这四个点我们称之为椭圆的顶点，且把A1A2叫做椭圆的长轴，B1B2叫做椭圆的短轴。而通常把a、b、c分别叫做长半轴长、短半轴长、半焦距。（），当时，比值，椭圆越扁（）410cacacab当时，比值，椭圆越圆（）ccab001把比值称为椭圆的离心率，用它刻划椭圆的扁圆程度，显然caee01若，则，此时两焦点重合，方程化为cabxya0222它表示圆，可见圆是椭圆的特殊情形【典型例题】例1.已知△ABC的一边BC的长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。分析：由于△ABC周长为16，而一边BC的长为6可见||||ABAC16610即动点A满足：到两定点B、C的距离之和为10（>6），这恰好符合椭圆的定义。因此A点的轨迹是椭圆，但要去掉两点：椭圆与BC边所在直线的交点，即已知所求轨迹用心爱心专心的类型，就可待定轨迹方程中的参变数（即待定系数法）ABOC解：取BC边所在直线为x轴，以BC中点为坐标原点建立坐标系由，可得，，（，）||()BCBC63030||||ABAC16610（定值）由椭圆的定义，可知顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（去掉椭圆与x轴交点）而（，），（，），BCCaa303032105从而bac2222534所...