第3讲平面向量1．(2016·课标全国丙改编)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝________.答案30°解析 |BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°.2．(2016·山东改编)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为______．答案－4解析 n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.3．(2016·天津改编)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为________．答案解析如图所示，AF＝AD＋DF.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝DE＋EF＝DE＋DE＝DE＝AC，所以AF＝AB＋AC.又BC＝AC－AB，则AF·BC＝·(AC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2－AC·AB＝AC2－AB2－AC·AB.又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°，故AF·BC＝－－×1×1×＝.4．(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．答案解析由已知可得：≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，由于上式对任意单位向量e都成立．∴≥|a＋b|成立．∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为填空题，难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1(1)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.(2)如图，在△ABC中，已知BD＝2DC，以向量AB，向量AC作为基底，则向量AD可表示为____________．答案(1)(2)AB＋AC解析(1)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，即2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.(2)根据平面向量的运算法则及已知图形可知AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AC)＝AB＋AC.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么以向量AB和向量AD为基底，向量EF可表示为__________．(2)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为________．答案(1)AB－AD(2)解析(1)在△CEF中，有EF＝EC＋CF.因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.因为点F为BC的一个三等分点，所以CF＝CB.所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA＝AB－AD.(2)因为E为DC的中点，所以AC＝AB＋AD＝AB＋AB＋AD＝AB＋AE，即AE＝－AB＋AC，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.热点二平面向量的数量积1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.2．三个结论(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.例2(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．(2)若b＝，|a|＝2|b|，且(a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为________．答案(1)(2)解析(1)以A为原点，建立如图所示的坐标系，可得A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)，∴AB＝(，0)，AF＝(x,2)，∴AB·AF＝x＝，解得x＝1，∴F(1,2)．∴AE＝(，1)，BF＝(1－，2)，∴AE·BF＝×(1－)＋1×2＝.(2)b2＝cos2＋cos2＝cos2＋sin2＝1，所以|b|＝1，|a|＝2.由(a＋b)·b＝－2，可得a·b＋b2＝－2，故a·b＝－，故cos〈a，b〉＝＝＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向...
