高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第11讲 不等式的证明（含详解）VIP免费

不等式的证明题型预测证明不等式的基本方法有：求差（商）比较法，综合法，分析法，有时用反证法，数学归纳法．均值定理、适度的放缩、恰当的换元是证明不等式的重要技巧．不等式的证明往往与其它知识（如函数的性质）综合起来考查．范例选讲例1已知，求证：讲解：可以用比较法：解1．因为，所以，，所以，所以，，命题得证．解2因为，所以，，所以，，由解1可知：上式>1．故命题得证．点评：比较法是证明不等式的基本思路．例2证明不等式：，讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明．解1①时，不等式的左端=1，右端=2，显然1<2，所以，时命题成立．②假设时命题成立，即：．则当时，不等式的左端不等式的右端．由于=．所以，，即时命题也成立．由①②可知：原不等式得证．从上述证法可以看出：其中用到了这一事实，从而达到了和之间的转化，也即和之间的转化，这就提示我们，本题是否可以直接利用这一关系进行放缩？观察原不等式，如果希望直接证明，需要把左端进行化简，直接化简是不可能的，但如果利用进行放缩，则可以达到目的，由此得解2．解2因为对于任意自然数，都有，所以，从而不等式得证．点评：放缩法是一种证明的技巧，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中考察．如本题中注意到所要求证的式子左右两端的差异，以及希望把左式化简的目标．例3设，若，，,试证明：对于任意，有.讲解：要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论也不是的确定值，“”而是与条件相对应的取值范围，因此，我们可以把，和当成两个独立条件，先用和来表示.∵,∴,∴.∴当时，，所以，根据绝对值不等式的性质可得：，，∴综上，问题获证.点评：用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论．