高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第21讲 抽象函数型综合问题（含详解）VIP专享VIP免费

抽象函数型综合问题题型预测抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．范例选讲例1．定义在R上的函数fx满足：对任意实数，总有fmnfmfn，且当时，．（1）试求的值；（2）判断fx的单调性并证明你的结论；（3）设，若，试确定a的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数．讲解：（1）在fmnfmfn中，令1,0mn．得：110fff．因为，所以，．（2）要判断fx的单调性，可任取，且设．在已知条件fmnfmfn中，若取21,mnxmx，则已知条件可化为：2121fxfxfxx．由于，所以．为比较的大小，只需考虑的正负即可．在中，令，，则得．∵时，，∴当时，．又，所以，综上，可知，对于任意，均有．∴．∴函数fx在R上单调递减．（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子．222211fxfyfxy即，，即．由，所以，直线与圆面221xy无公共点．所以，．解得：．（4）如．点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决．例2．已知定义在R上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：1fmfnfmnfmfn试回答下列问题：（Ⅰ）试求的值；（Ⅱ）判断并证明函数fx的单调性；（Ⅲ）若函数fx存在反函数，求证：．讲解：（Ⅰ）在中，令，则有．即：．也即：．由于函数的值域为，所以，，所以．（Ⅱ）函数fx的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（＊）这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系．由于，所以，在中，令，得．所以，函数为奇函数．故（＊）式成立．所以，．任取，且，则，故且．所以，所以，函数在R上单调递减．（Ⅲ）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，．为了证明本题，需要考虑的关系式．在（＊）式的两端，同时用作用，得：，令，则，则上式可改写为：．不难验证：对于任意的，上式都成立．（根据一一对应）．这样，我们就得到了的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端．事实上，由于，所以，．所以，点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值．