高考数学 数学思想的应用情形归纳 第01讲 转化化归思想情形之01-04-人教版高三全册数学试题VIP免费

第01讲：转化化归思想情形之1-4【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解比较困难，通过观察、分析等思维过程,需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转化化归思想”.转化化归思想就是化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.转化化归思想的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、转化化归要遵循的几个基本原则有：目标简单化原则、和谐统一性原则、熟悉化原则、直观化原则.四、本讲讲了转化化归思想情形之1-4,情形1：正难则反的转化化归；情形2：数形结合的转化化归；情形3：换元建新的转化化归；情形4：主元次元的转化化归.【方法讲评】转化化归情形一正难则反的转化化归一个数学问题从正面考虑比较复杂，可以先考虑问题的反面，求出反面问题的答案，再根据正面反面问题的关系得到原数学问题的答案.【例1】已知设命题:；命题：函数有两个不同的零点.求使命题“或”为真命题的实数的取值范围.所以可以考虑.所以，所以.所以实数的取值范围是.【点评】（1）本题从正面考虑，命题“或”为真命题有三种情况（），所以从正面考虑，要分三种情况考虑，情况比较复杂，但是它的反面只有一种情况，就是，所以此时我们可以转化为考虑它的反面,求出实数的取值范围，由于正面和反面的情况下，实数的取值范围的并集是，所以我们求出反面情况下的取值范围后，只要再求这个范围在R中的补集即可.（2）在学习数学的过程中或实际生活中，当我们遇到正面考虑比较复杂的问题时，我们可以考虑它的反面.假设正面解答问题的结果为集合,反面解答问题的结果为集合,则.我们先考虑它的反面得到集合，再根据集合的关系得到问题的结果为.在有的资料上这种方法称为“补集法”.【反馈检测1】已知集合，若，求的取值范围．【例2】若下列三个方程：中至少有一个方程有实根，试求实数的取值范围.【解析】三个方程中至少有一个方程有实根的反面时三个方程都没有实数根.于是三个方程至少有一个方程有实根的实数的取值范围为【点评】（1）本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。故先考虑其反面是捷径.从此题我们可以看到转化化归思想的优越性.（2）一般情况下，“至少”“至多”的命题，如果正面情况分类比较繁琐，可以从反面考虑，优化解题，提高解题效率.【反馈检测2】已知，，，求证：，，中至少有一个小于等于.转化化归情形二数形结合的转化化归一个数学问题，如果从“数”的角度突破比较复杂或困难，可以把“数”转化为对应的“形”，以形助数，提高解题效率；一个数学问题，如果从“形”的角度突破比较复杂或困难，可以把“形”转化为对应的“数”，以数解形，提高解题效率.【例3】函数．（1）当时，若函数与的图象有且只有3个不同的交点，求实数的值的取值范围；（2）讨论的单调性．【解析】（1）当时，由题得，（2）由于，∴．当时，恒成立，∴在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．【点评】（1）直接研究函数与的图象的交点比较困难，所以本题先利用两函数图像交点的个数等价于两方程组解的个数，得到方程组，通过消元得到方程，再构造新函数利用数形结合来解答，直观又简洁，大大地提高了解题效率.(2)本题主要是典型的“以形助数”，把“数”等价地转化为“形”，再数形结合分析解答.【反馈检测3】已知函数，其中为实数，常数.(1)若是函数的一个极值点，求的值；(2)当时，求函数的单调区间；(3...