第1课时导数与函数的单调性A级·基础过关|固根基|1.函数f(x)＝3＋xlnx的单调递减区间是()A.B.C.D.解析：选B因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，令f′(x)＜0，得0＜x＜，所以f(x)的单调递减区间是.2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()解析：选D由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)＞0，在(0，＋∞)上，f′(x)＜0，故选D.3．已知函数f(x)＝lnx－x＋，若a＝f(e)，b＝f(π)，c＝f(log230)，则()A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．a＜c＜b解析：选Af(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－1－＝－＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为log230＞log224＞π＞e.所以f(log230)＜f(π)＜f(e)，即c＜b＜a.4．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．不存在这样的实数kC．－2＜k＜2D．－3＜k＜－1或1＜k＜3解析：选D f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2，若函数f(x)＝x3－12x在(k－1，k＋1)上不是单调函数，则方程f′(x)＝0在(k－1，k＋1)内有解．∴k－1＜－2＜k＋1或k－1＜2＜k＋1，解得－3＜k＜－1或1＜k＜3.5．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－2]B.C．[2，＋∞)D.解析：选B由题意得，f′(x)＝k－(x>0)． 函数f(x)＝kx－lnx在区间(2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥0在区间(2，＋∞)上恒成立，即k≥恒成立，而y＝在区间(2，＋∞)上单调递减，1∴k≥，∴k的取值范围是.6．函数f(x)＝lnx－ax(a＞0)的单调递增区间为________．解析：由题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝－a＞0(a＞0)，得0＜x＜，∴f(x)的单调递增区间为.答案：7．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a>0，解得a>－3，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)8．若函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝－ax－2＝，由题意知，f′(x)＜0在(0，＋∞)上有实数解，即ax2＋2x－1＞0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a＜0时，只需Δ＝4＋4a＞0，∴－1＜a＜0.综上可知，a＞－1.答案：(－1，＋∞)9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．由题意得f′(1)＝＝0，所以k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝，设h(x)＝－lnx－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2020届南昌市高三摸底)已知函数f(x)＝xex－a(a∈R，e为自然对数的底数)，g(x)＝(x＋1)2.(1)若直线y＝x－1是函数f(x)图象的一条切线，求a的值；(2)对于任意x∈，f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)设切点的坐标为(m，m－1)，由题意得f′(x)＝(x＋1)ex，则1＝(m＋1)em，显然m≠－1，则em＝，所以em－＝0.设F(m)＝em－(m≠－1)，当m<－1时，F(m)>0恒成立．当m>－1时，F(m)单调递增，又F(0)＝e0－＝0，所以m＝0.因为切点在函数f(x)的图象上，所以m－1＝mem－a，所以a＝1.(2)因为对于任意x∈，f(x)>g(x)恒成立，所以a0，φ(x)单调递增；x∈(－1，0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增．而φ(0)＝－，φ＝－e－－，2下面比较φ(0)与φ的大小，因为e3>16，所以>4，e>4，所以e－<，故φ－φ(0)＝－e－＋＝－>0，即φ>φ(0)，所以当x∈时，φ(x)≥φ(0)＝－，所以a<...
