(四)解析几何1．(2019·杭州外国语学校模拟)抛物线x2＝4y的焦点为F，直线l：y＝－1，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交直线l于点B，交抛物线于M，N两点．(1)求证：直线AB与抛物线相切；(2)若点A满足AM⊥AN，求此时点A的坐标．(1)证明由题意得焦点F(0,1)，设A(x0，y0)(x0>0，y0>0)，∴直线AF的斜率为，由题意知直线BF斜率存在，则直线BF的方程为y＝x＋1，∴点B的坐标为，∴直线AB的斜率为＝＝，根据导数的几何意义得y＝x2在点A(x0，y0)处的切线斜率为，∴直线AB与抛物线相切．(2)解由(1)知A(x0，y0)，直线MN的方程为y＝x＋1，由消去y整理得x2－x－4＝0，由题意知，Δ>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－4，由题意得直线AM的斜率为＝＝，同理直线AN的斜率为，∴·＝－1，整理得y－2y0－3＝0，又因为A(x0，y0)在第一象限，解得y0＝3(舍负)，代入抛物线方程得x0＝2，所以存在点A(2，3)，使得AM⊥AN.2.如图，已知直线y＝－2mx－2m2＋m与抛物线C：x2＝y相交于A，B两点，定点M.1(1)证明：线段AB被直线y＝－x平分；(2)求△MAB面积取得最大值时m的值．(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组得x2＋2mx＋2m2－m＝0，Δ＝4m2－4(2m2－m)>0，即00)于B，C两点，C是AB的中点．(1)求证：点C的纵坐标是定值；(2)过点C作与直线l倾斜角互补的直线l′交椭圆于M，N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．(1)证明易知A(0，－1)，不妨设B，则C，把点C代入抛物线方程得22＝2p·，得t2＝4p，∴yC＝＝为定值．(2)解 点C是AB中点，∴S△BMN＝S△AMN， 直线l的斜率k＝＝，直线l′的斜率k′＝－，∴直线l′的方程为y－＝－，即y＝－x＋2，不妨记m＝－，则l′：y＝mx＋2，代入椭圆方程整理得(2m2＋1)x2＋8mx＋6＝0，Δ＝64m2－24(2m2＋1)>0，即m2>，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，|MN|＝|x1－x2|＝2··，A到MN的距离d＝，所以S△BMN＝S△AMN＝·|MN|·d＝3·＝≤＝.当且仅当＝，即m2＝时，等号成立，此时满足Δ>0，所以t2＝＝，p＝＝.4．(2019·余高、缙中、长中模拟)对于椭圆＋＝1(a>b>0)，有如下性质：若点P(x0，y0)是椭圆外一点，PA，PB是椭圆的两条切线，则切点A，B所在直线的方程是＋＝1.利用此结论解答下列问题：已知椭圆C：＋y2＝1和点P(2，t)(t∈R)，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A，B，记点A，B到直线PO(O是坐标原点)的距离是d1，d2.(1)当t＝0时，求线段AB的长；(2)求的最大值．解(1)因为点P(2，t)，直线AB的方程是2x＋2ty＝2，即x＋ty＝1，当t＝0时，直线AB的方程是x＝1，此时|AB|＝.(2)由(1)知直线AB的方程是x＋ty＝1，直线PO的方程是tx－2y＝0，联立得(t2＋2)y2－2ty－1＝0，Δ>0，3设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(tx1－2y1)(tx2－2y1)<0，所以d1＋d2＝＋＝，另|AB|＝|y1－y2|，所以＝；设2＋t2＝x，则＝＝＝，所以，当＝，即x＝4，t2＝2时，有最大值为.5．(2019·慈溪中学模拟)如图所示，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C过点(0，)，T为直线x＝4上的动点，过点T作椭圆C的切线TA，TB，A，B为切点．(1)求证：A，F2，B三点共线；(2)过点F2作一条直线与曲线C交于P，Q两点，过P，Q作直线x＝4的垂线，垂足依次为M，N.求证：直线PN与MQ交于定点．证明(1)由已知得＝，b＝，又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.设T(4，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线TA，TB的方程分别为＋＝1，＋＝1，由于切线TA，TB过点T(4，t)，所以x1＋＝1，x2＋＝1，即x1＋y1＝1，x2＋y2＝1，所以直线AB的方程为x＋y＝1.易知直线AB...
