高考数学大一轮复习 第十二章 几何证明选讲 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第十二章几何证明选讲文北师大版考点一平行线与相似(全等)三角形命题点平行线分线段成比例定理1．平行线截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似；(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.1.(2015·高考课标卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，即△AEF也是等腰三角形．1故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.所以四边形EBCF的面积S＝×2×－×(2)2×＝.2．(2016·河南三市调研)如图，切线AB与圆切于点B，圆内有一点C满足AB＝AC，∠CAB的平分线AE交圆于D，E，延长EC交圆于F，延长DC交圆于G，连接FG，EG.(1)证明：AC∥FG；(2)证明：EC＝EG.证明：(1) AB切圆于点B，∴AB2＝AD·AE，又 AB＝AC，∴AC2＝AD·AE，即＝，又∠DAC＝∠CAE，∴△ACD∽△AEC，∴∠ACD＝∠AEC，又 ∠AEC＝∠DGF，∴∠ACD＝∠DGF，∴AC∥FG.(2)连接BD，BE，由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD及AD＝AD，知△ABD≌△ACD.∴∠ADB＝∠ADC，∴∠BDE＝∠CDE，故BE＝EG，由AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，知△ABE≌△ACE，∴BE＝CE，∴EC＝EG.判定三角形相似的思路与方法1．抓住判定两个三角形相似的常规思路：2(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法：(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3．(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相似图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．选考部分考点二圆中的相关定理与有关线段命题点圆周角定理1．圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．②推论：(ⅰ)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(ⅱ)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．2．弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)推论：①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．②...