课时跟踪训练(十八)空间向量及其线性运算1．有下列命题：(1)单位向量一定相等；(2)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(3)相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；(4)方向相反的两个单位向量互为相反向量；(5)起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．其中正确的命题的个数为________个．2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA�＝a，CB�＝b，1CC�＝c，则1AB�＝________.3．在下列命题中，错误命题的序号是________．①若a≠λb，则a与b不共线(λ∈R)；②若a＝2b，则a与b共线；③若m＝a－2b＋3c，n＝－2a＋4b－6c，则m∥n；④若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c.4．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB�＝2e1＋ke2，CB�＝e1＋3e2，CD�＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.5．如图，已知空间四边形ABCD中，AB�＝a－2c，CD�＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF�＝________.(用向量a，b，c表示)6.如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简AG�＋BE�－AC�，并在图中标出化简结果的向量．7．已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．(1)OQ�＝PQ�＋yPC�＋zPA�；(2)PA�＝xPO�＋yPQ�＋PD�.8．已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．(1)化简1AA�＋BC�＋AB�，并在图上以A1A的中点为起点标出计算结果；(2)设M是BD的中点，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且BN∶NC1＝3∶1，试用向量1AB�，AD�，1AA�来表示向量MN�.答案1．解析：(1)不正确，因为忽略方向；(2)方向相同，模相等的向量是相等向量，与起点无关，故(2)正确．(3)、(4)正确；(5)不正确，轨迹是个球面．答案：32．解析：如图，1AB�＝1BB�－11BA�＝1BB�－BA�＝－1CC�－(CA�－CB�)＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.答案：－c－a＋b3．解析：①错，当a≠0，b＝0，λ≠0时，a与b共线，②③④均正确．答案：①4．解析：∵BD�＝BC�＋CD�＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2，又∵A，B，D三点共线，∴AB�＝λBD�，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，∴∴k＝－8.答案：－85．解析：设G为BC的中点，连结EG，FG，则EF�＝EG�＋GF�＝AB�＋CD�＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c答案：3a＋3b－5c6．解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴GE�＝BE�.又∵AC�＝(DC�－DA�)＝DC�－DA�＝DE�－DF�＝FE�，∴AG�＋BE�－AC�＝AG�＋GE�－FE�＝AF�(如图所示)．7．解：如图：(1)∵OQ�＝PQ�－PO�＝PQ�－(PA�＋PC�)＝PQ�2－PC�－PA�，∴y＝z＝－.(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴PA�＋PC�＝2PO�，PC�＋PD�＝2PQ�，∴PA�＝2PO�－PC�，PC�＝2PQ�－PD�，∴PA�＝2PO�－2PQ�＋PD�，∴x＝2，y＝－2.8．解：(1)先在图中标出1AA�，为此可取AA1的中点E，则1AA�＝1EA�.∵AB�＝11DC�，在D1C1上取点F，使D1F＝D1C1，因此AB�＝11DC�＝1DF�，又BC�＝11AD�，从而1AA�＋BC�＋AB�＝1EA�＋11AD�＋1DF�＝EF�.计算结果如图所示．(2)MN�＝MB�＋BN�＝DB�＋1BC�＝(DA�＋AB�)＋(BC�＋1CC�)＝(－AD�＋AB�)＋(AD�＋1AA�)＝AB�＋AD�＋1AA�.3
