第3讲平面向量一、填空题1．(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.答案2．(2015·广州模拟)已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________．解析因为b⊥c，所以b·c＝0，又c＝ta＋(1－t)b，所以b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝0.因为a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos60°＝3×3×＝，b2＝9.所以t＋9(1－t)＝0，解得t＝2.答案23．(2015·山东卷改编)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝________．解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴BD·CD＝|BD||CD|cos30°＝a2×＝a2.答案a24．(2015·太原模拟)已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为________．解析因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案5．(2015·四川卷改编)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝________．解析AM＝AB＋AD，NM＝CM－CN＝－AD＋AB，∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16AB2－9AD2)＝(16×62－9×42)＝9.答案96．(2015·全国Ⅰ卷改编)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，AD＝xAB＋yAC，则x＋y＝________．解析∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，1即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC，故x＋y＝1.答案17．(2014·天津卷)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________．解析如图由题意知AE＝AB＋BC＝AB＋AD，AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝AD＋AB，由·＝1，得(＋1)AB·AD＋AD2＋AB2＝1，∴|AB|·|AD|cos120°＋|AD|2＋|AB|2＝1，∴×2×2×＋×22＋×22＝1，解之得λ＝2.答案28．已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心)．解析由条件，得AP＝λ，从而AP·BC＝λ＝λ＝λ(－|BC|＋|BC|)＝0，得AP⊥BC，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．答案垂心二、解答题9．(2013·江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．(1)证明由|a－b|＝，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解由已知条件cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sinα＋sin(π－α)＝1，即sinα＝，故α＝或α＝.当α＝时，β＝(舍去)，当α＝时，β＝.所以α，β的值分别为，.10．已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．解(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，|a＋b|＝＝＝2，因为x∈，所以cosx≥0，所以|a＋b|＝2cosx.(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx，2即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.因为x∈，所以0≤cosx≤1.①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝.11．(2015·苏、锡、常、镇调研)如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2，0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求OA·OQ＋S的最大值；(2)若CB∥OP，求sin的值．解(1)由已知，得A(1，0)，B(0，1)，P(cosθ，sinθ)，因为四边形OAQP是平行四边形，所以OQ＝OA＋OP＝(1，0)＋(cosθ，sinθ)＝(1＋cosθ，sinθ)．所以OA·OQ＝1＋cosθ.又平行四边形OAQP的面积为S＝|OA|·|OP|sinθ＝sinθ，所以OA·OQ＋S＝1＋cosθ＋sinθ＝sin＋1.又0<θ<π，所以当θ＝时，OA·OQ＋S的最大值为＋1.(2)由题意，知CB＝(2，1)，OP＝(cosθ，sinθ)，因为CB∥OP，所以cosθ＝2sinθ.又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sinθ＝，cosθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝.所以sin＝sin2θcos－cos2θsin＝×－×＝3
