第十讲定点问题【套路秘籍】---千里之行始于足下一．直线的斜率和截距都未知时，设直线的方程为，利用题意找出k和m的关系式，即只要截距位置和斜率位置的参数是齐次的且为同一个参数都可以求出所过的定点。二．斜率未知时，证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，只需要令含有参数部分的x等于零即可消去参数.三．若动直线的参数位置在截距上，则此时动直线并不是以定点为对称点转动，因此无法证明直线过定点；注意：在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一找出k与m得关系【例1】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】（1）（2）（2，-1）【解析】（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2如果l与x轴垂直，设l:x=t由题意设知设直线l的方程由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而由题设，故.即.解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点（2，-1）【举一反三】1.过上一点，作两条射线交抛物线于两点，且，则证明恒过一定点。【解析】设直线AB的方程为x=ky+b，设联立由韦达定理得,解得当时，AB的方程为，此时恒过（1，2）点当时，AB的方程为，此时恒过（5，-2）点2.已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．【答案】（1）；（2）(1,0)【解析】（1）如图1，设动圆得圆心O1（x,y),由题意得当O1不在y轴上时，过又又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程所以动圆圆心的轨迹C的方程为（2）如图2，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b()，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64＞0由根与系数的关系得，x1＋x2＝①，x1x2＝②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0即(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，即2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③将①②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，即k＝－b，此时Δ＞0所以直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1，0)图1图2考向二利用直线系中参得系数为0【例2】对于椭圆222210xyabab，有如下性质：若点00,xy是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为00221xxyyab．利用此结论解答下列问题．点31,2Q是椭圆2222C:1(0)xyabab上的点，并且椭圆在点Q处的切线斜率为12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P在直线3xy上，经过点P的直线m，n与椭圆C相切，切点分别为M，N．求证：直线MN必经过一定点．【答案】（1）（2）直线MN必经过一定点（2）设00,Pxy，11,Mxy，22,Nxy，则切线11:143xxyym，切线22:143xxyyn． ,mn都经过点P，∴1010143xxyy，2020143xxyy．即直线MN的方程为00143xxyy．又003xy，∴直线MN必经过一定点4,13．【举一反三】1．已知点G在抛物线C：x2=4y的准线上，过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)（1）证明：x1x2+y1y2为定值；（2）当点G在y轴上时，过点A作直线AM，AN交抛物线C于M，N两点，满足.问：直线MN是否恒过定点P，若存在定点，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）-3（2）直线MN过定点P(2,5).【解析】（1）法1：抛物线C：x2=4y的准线为l：y=-1，故可设点G(a,-1)，由x2=4y，得，所以.所以直线GA的斜率为.因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线C上，...
