第2节等差数列【选题明细表】知识点、方法题号等差数列的判定与证明13,14等差数列的基本运算1,4,10等差数列的性质2,3,7,9等差数列的单调性及最值5,8,12等差数列的综合应用6,11,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016昆明一中月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项a1等于(D)(A)-(B)-(C)(D)解析:由得解得a1=.故选D.2.(2015河北石家庄二模)已知数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4,则a2+a12的值为(B)(A)(B)(C)2(D)4解析:因为a1+a7+a13=3a7=4,所以a7=.所以a2+a12=2a7=2×=.3.(2015云南第二次检测)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1∶a2=1∶2,则S1∶S3等于(D)(A)1∶3(B)1∶4(C)1∶5(D)1∶6解析:因为S3==3a2,又因为a1∶a2=1∶2,所以S1∶S3=a1∶3a2=1∶6.4.(2015云南第二次检测)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于(D)(A)(B)(C)4(D)5解析:因为=,所以=,解得a1=-.所以====5.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-9,a3+a7=-6,则当Sn取得最小值时,n等于(D)(A)9(B)8(C)7(D)6解析:因为a3+a7=2a5=-6,所以a5=-3,所以d=2,所以a6=-1,a7=1,所以S6最小.故选D.6.(2014高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d,若数列{}为递减数列,则(D)(A)d>0(B)d<0(C)a1d>0(D)a1d<0解析:由{}为递减数列,知{a1an}为递减数列,a1an=a1[a1+(n-1)d]=a1dn+a1(a1-d),所以a1d<0.故选D.7.(2015东北三校第一次联合模拟)若等差数列{an}中,满足a4+a6+a2010+a2012=8,则S2015等于.解析:因为a4+a6+a2010+a2012=8,所以2(a6+a2010)=8,所以a6+a2010=4,所以S2015===4030.答案:40308.(2014高考北京卷)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{an}的前n项和最大.解析:根据题意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,所以a9<0,所以当n=8时,{an}的前n项和最大.答案:89.由正数组成的等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则=.解析:由S5==5a3,T5==5b3,得===.答案:10.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n,所以Sn==2n-n2.由Sk=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7.11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1<0,S2015=0.(1)求Sn的最小值及此时n的值;(2)求n的取值集合,使其满足an≥Sn.解:(1)设公差为d,则由S2015=02015a⇒1+d=0a⇒1+1007d=0,d=-a1,a1+an=a1,所以Sn=(a1+an)=·a1=(2015n-n2).因为a1<0,n∈N*,所以当n=1007或1008时,Sn取最小值504a1.(2)an=a1,Sn≤an⇔(2015n-n2)≤a1.因为a1<0,所以n2-2017n+2016≤0,即(n-1)(n-2016)≤0,解得1≤n≤2016.故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2016,n∈N*}.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015甘肃二诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S17>0,S18<0,则,,…,中最大的项为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为S17==17a9>0,所以a9>0,又S18=9(a1+a18)=9(a9+a10)<0,所以a10<0,所以等差数列{an}为递减数列,a1,a2,…,a9为正,a10,a11,…为负;S1,S2,…,S17为正,S18,S19,…为负,则>0,>0,…,>0,<0,…,<0,而S1a2>…>a9,所以,,…,中最大的项为.13.正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则a7=.解析:因为2=+(n∈N*,n≥2),所以数列{}是以=1为首项,以d=-=4-1=3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n≥1.所以a7==.答案:14.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)设数列{bn}的通项公式bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.解:(1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得Sn==n(n+1),则bn==n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn==.15.(2015南昌模拟)已知数列{an}满足a1=1,an=(n∈N*,n≥2),数列{bn}满足关系式bn=(n∈N*).(1)求证:数列{bn}为等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明:因为bn=,且an=,所以bn+1===.所以bn+1-bn=-=2.又b1==1,...
