5．直线与圆1．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程；(2)设过点M(0,3)的直线与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．解(1)设圆C：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，由题意知解得a＝1或a＝，又S＝πr2＜13，∴a＝1，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，联立得消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0.∴Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20＞0，解得k＜1－或k＞1＋.x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝，OD＝OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)，MC＝(1，－3)，假设OD∥MC，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，解得k＝∉∪，假设不成立，∴不存在这样的直线l.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．(1)若直线l∥AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．解(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为＝1，设直线l的方程为x－y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝＝.因为MN＝AB＝＝2，而CM2＝d2＋2，所以4＝＋2，解得m＝0或m＝－4，故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4.因为|2－2|<<2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，1所以点P的个数为2.3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)．(1)若PF⊥x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；(2)若圆O的半径为，点P，Q满足kOP·kOQ＝－，求直线PQ被圆O截得的弦长的最大值．解(1)因为椭圆C的方程为＋＝1，所以A(－2,0)，F(1,0)．如图，因为PF⊥x轴，所以P，根据对称性，可取P，则直线AP的方程为y＝(x＋2)，即x－2y＋2＝0.由圆O与直线AP相切，得r＝，所以圆O的方程为x2＋y2＝.(2)易知，圆O的方程为x2＋y2＝3.①当PQ⊥x轴时，kOP·kOQ＝－k＝－，所以kOP＝±，不妨设OP：y＝x，联立解得x＝，y＝，即P，此时得直线PQ被圆O截得的弦长为2.②当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2≠0)，由kOP·kOQ＝－，得3x1x2＋4y1y2＝0，即3x1x2＋4(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，所以(3＋4k2)x1x2＋4kb(x1＋x2)＋4b2＝0.(*)联立消去y，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，将x1＋x2＝－，x1x2＝代入(*)式，得2b2＝4k2＋3.由于圆心O到直线PQ的距离为d＝，所以直线PQ被圆O截得的弦长为l＝2＝，故当k＝0时，l有最大值.综上，因为＞2，所以直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为.4．如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l，m，欲再建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与圆A相切．2(1)当P距O处2百米时，求OQ的长；(2)当公路PQ长最短时，求OQ的长．解以O为原点，直线l，m分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为x2＋(y－1)2＝1.(1)由题意可设直线PQ的方程为＋＝1，即qx＋2y－2q＝0(q＞2)，∵PQ与圆A相切，∴＝1，解得q＝，故当P距O处2百米时，OQ的长为百米．(2)设直线PQ的方程为＋＝1，即qx＋py－pq＝0(p＞1，q＞2)，∵PQ与圆A相切，∴＝1，化简得p2＝，则PQ2＝p2＋q2＝＋q2，令f(q)＝＋q2(q＞2)，∴f′(q)＝2q－＝(q＞2)，当2＜q＜时，f′(q)＜0，即f(q)在上单调递减；当q＞时，f′(q)＞0，即f(q)在上单调递增，∴f(q)在q＝时取得最小值，故当公路PQ长最短时，OQ的长为百米．3
