重组四大题冲关——导数的综合应用问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2017·吉林实验中学模拟](本小题满分15分)已知函数f(x)＝mx＋lnx，其中m为常数，e为自然对数的底数．(1)当m＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求m的值．解(1)当m＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，定义域为(0，＋∞)．求导得f′(x)＝－1＋，(2分)令f′(x)＝0，得x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)－1(5分)由表可知f(x)的最大值为f(1)＝－1.(7分)(2)求导得f′(x)＝m＋.①当m≥0时，f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(0，e]上单调递增，最大值为f(e)＝me＋1＝－3，解得m＝－，不符合要求；(9分)②当m<0时，令f′(x)＝0，得x＝－，若－≥e，此时f′(x)≥0在(0，e]上恒成立，此时f(x)在(0，e]上单调递增，最大值为f(e)＝me＋1＝－3，解得m＝－，不符合要求；(12分)若－0在上成立，f′(x)<0在上成立，此时f(x)在(0，e]上先增后减，最大值为f＝－1＋ln＝－3，解得m＝－e2，符合要求．(14分)综上可知，m的值为－e2.(15分)2．[2016·天津十二区联考](本小题满分15分)已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝ax＋b.(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若直线g(x)＝ax＋b是函数f(x)＝lnx－图象的切线，求a＋b的最小值．解(1)h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－－ax－b，则h′(x)＝＋－a，(2分) h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴对∀x>0，都有h′(x)＝＋－a≥0，(3分)即对∀x>0，都有a≤＋，(5分) ＋>0，∴a≤0，故实数a的取值范围是(－∞，0]．(7分)(2)设切点，则切线方程为y－＝(x－x0)，即y＝x－x0＋，亦即y＝x＋，(10分)令＝t>0，由题意得a＝＋＝t＋t2，b＝lnx0－－1＝－lnt－2t－1，令a＋b＝φ(t)＝－lnt＋t2－t－1，则φ′(t)＝－＋2t－1＝，当t∈(0,1)时，φ′(t)<0，φ(t)在(0,1)上单调递减；当t∈(1，＋∞)时，φ′(t)>0，φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，∴a＋b＝φ(t)≥φ(1)＝－1，故a＋b的最小值为－1.(15分)3．[2017·山西怀仁模拟](本小题满分20分)设函数f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，(3分)当0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上，函数f(x)的单调增区间是(，＋∞)，减区间是(0，)．(6分)(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mlnx，x>0，问题等价于求函数F(x)的零点个数，(7分)F′(x)＝－，(9分)当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)＝>0，F(4)＝－ln4<0，∴F(x)有唯一零点．(13分)当m>1时，0m时，F′(x)<0,10，∴函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)＝m＋>0，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，∴F(x)有唯一零点．(17分)综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．(20分)4．[2017·河南八市质检](本小题满分20分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋ax2－3x，函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．(1)求a的值；(2)求函数g(x)的极值；(3)设斜率为k的直线与函数f(x)的图象交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1时，h′(x)<0，当00，(17分)∴h(x)在单调递增，在单调递减，又h(x1)＝h(x2)，∴x1<
