(四)解析几何1．(2018·浙江省台州中学模拟)过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0，k2>0，证明：FM·FN<2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．(1)证明由题意知，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为y＝k1x＋.由得x2－2pk1x－p2＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根，从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝2pk＋p，∴点M的坐标为，FM＝(pk1，pk)．同理可得点N的坐标为，FN＝(pk2，pk)，于是FM·FN＝p2(k1k2＋kk)． k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，∴0
b>0)的两焦点分别是F1，F2，点E在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N，使得MP＝2PN，求以F1P为直径的圆面积的取值范围．解(1)由已知，得半焦距c＝，2a＝|EF1|＋|EF2|＝＋＝4，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝8－2＝6，所以椭圆C的方程是＋＝1.(2)设点P的坐标为(0，t)，当直线MN斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝±，t2＝.当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由MP＝2PN得x1＝－2x2，①联立得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，由题意，得Δ＝64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－24)>0，整理得t2<8k2＋6，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1·x2＝，②由①②，消去x1，x2得k2＝，由解得b>0)，A，B是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，设直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，k1k2＝－.(1)求椭圆C的离心率；(2)设直线l与x轴交于点D(－，0)，交椭圆于P，Q两点，且满足DP＝3QD，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．解(1)M(0，b)，A(－a,0)，B(a,0)，k1＝，k2＝－，k1k2＝－·＝－＝－，e＝＝.(2)由(1)知e＝＝，得a2＝3c2，b2＝2c2，可设椭圆C的方程为2x2＋3y2＝6c2，设直线l的方程为x＝my－，由得(2m2＋3)y2－4my＋6－6c2＝0，因为直线l与椭圆C相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，所以Δ＝48m2－4(2m2＋3)(6－6c2)>0，由根与系数的关系得，y1＋y2＝，y1y2＝.又DP＝3QD，所以y1＝－3y2，代入上述两式得6－6c2＝－，所以S△OPQ＝|OD||y1－y2|＝＝＝≤，当且仅当m2＝时，等号成立，此时c2＝，代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C的方程为＋＝1.5．已知在平面直角坐标系中，动点P(x，y)(x≥0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与轨迹C相交于A，B两点，设点Q在直线x＋y－1＝0上，且满足OA＋OB＝tOQ(O为坐标原点)，求实数t的最小值．解(1)方法一因为点P(x，y)(x≥0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以|PN|－1＝|...
