第八节立体几何中的向量方法(二)——求空间角【最新考纲】1.能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.3．求二面角的大小①若AB、CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角．②设n1，n2分别是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案：C3．(2016·泰安质检)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：设l与α所成角为θ， cos〈m，n〉＝－，∴sinθ＝|cos〈m，n〉|＝， 0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.答案：A4．(2014·课标全国Ⅱ卷)在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM＝(1，－1，2)，AN＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.答案：C5．(2016·石家庄模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．解析：如图建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.所以AD＝(0，1，0)，AE＝(0，，)分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈AD，AE〉＝45°，故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.答案：45°三个范围1．异面直线所成角的范围是；2．直线与平面所成角的范围是；3．二面角的范围是[0，π]．三种关系1．求两异面直线a，b夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.2．求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sinθ＝|cos〈n，a〉|.3．求二面角αlβ的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．一个易错点利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两个半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．A级基础巩固一、选择题1．(2016·秦皇岛模拟)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D1(0，0，2)．所以BE＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)．所以cos〈BE，CD1〉＝＝＝.答案：C2．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.a解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)．设M(x，y，z)，...
