专题6平面向量的数量积平面向量的数量积★★★○○○○1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作�OA＝a，�OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．(3)坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．2．根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．1[典例](1)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于()A．－B．－C.D.(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且�BE＝�BC，�DF＝�DC，则�AE·�AF的值为________．[答案](1)D(2)1．已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－3B．－2C．1D．－1解析：选A因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，�AB＝(1，－2)，�AD＝(2,1)，则�AD·�AC＝()A．5B．4C．3D．2解析：选A由四边形ABCD是平行四边形，知�AC＝�AB＋�AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故�AD·�AC＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为()A．(3，－6)B．(－3,6)C．(6，－3)D．(－6,3)解析：选A由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|＝3，则＝3，所以λ＝－3，b＝(3，－6)，故选A.1．已知�AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量�AB在�CD方向上的投影为()A．－B．－3C.D．322．在边长为1的等边△ABC中，设�BC＝a，�CA＝b，�AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()A．－B．0C.D．3解析：选A依题意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝＋＋＝－.3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则�BD·�CD＝()A．－a2B．－a2C.a2D.a2解析：选D如图所示，∵�BD＝�BA＋�BC，�CD＝�BA，∴�BD·�CD＝(�BA＋�BC)·�BA＝�BA2＋�BC·�BA＝a2＋a·acos60°＝a2.故选D.4．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos60°＝2××＝10.答案：105.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，�AB＝4�AC，则�OC·(�OB－�OA)＝________.3________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4
