7.7.2空间向量的应用[课时跟踪检测]1．已知单位正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点．试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A(1,0,1)，B(0,0,1)，D1(1,1,0)，E，F.(1)因为AD1＝(0,1，－1)，EF＝，所以cos〈AD1，EF〉＝＝，即AD1与EF所成的角为60°.(2)FA＝，由图可得，BA＝(1,0,0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BA，FA〉|＝＝，所以cosθ＝.即AF与平面BEB1所成角的余弦值为.2．(2018届昆明市两区七校调研)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E为BC中点．(1)求证：C1D⊥D1E；(2)在棱AA1上是否存在一点M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值；若不存在，说明理由；(3)若二面角B1－AE－D1的大小为90°，求AD的长．解：(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,1,0)，B1(a,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E，所以C1D＝(0，－1，－1)，D1E＝，所以C1D·D1E＝0，所以C1D⊥D1E.(2)设＝h，则M(a,0，h)，连接BM，所以BM＝(0，－1，h)，AE＝，AD1＝(－a,0,1)，设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则，所以平面AD1E的一个法向量为n＝(2，a,2a)，因为BM∥平面AD1E，所以BM⊥n，即BM·n＝2ah－a＝0，所以h＝.即在AA1上存在点M，使得BM∥平面AD1E，此时＝.(3)连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为m＝(x′，y′，z′)，AE＝，AB1＝(0,1,1)，则所以平面B1AE的一个法向量为m＝(2，a，－a)．因为二面角B1－AE－D1的大小为90°，所以m⊥n，所以m·n＝4＋a2－2a2＝0，因为a>0，所以a＝2，即AD＝2.3．如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图2所示)．(1)当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大；(2)当三棱锥A－BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．解：(1)设BD＝x(0
