第五节指数与指数函数A级·基础过关|固根基|1.化简2ab－6ab÷－3ab的结果为()A．－4aB．4aC．11aD．4ab解析：选B原式＝[2×(－6)÷(－3)]＝4ab0＝4a，故选B.2．函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A．y＝B．y＝|x－2|C．y＝2x－1D．y＝log2(2x)解析：选A由f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝，知(1，1)不在y＝的图象上．3．已知a＝，b＝2－，c＝，则下列关系式中正确的是()A．c
>，所以<<，即b0时，函数是指数函数，其底数0a4x－1(0－3.答案：(－3，＋∞)7．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．解析：由f(1)＝，得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，12]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．答案：[2，＋∞)8．(2020届陕西宝鸡中学月考)如果函数f(x＋1)定义域为[0，3]，则函数f(2x)的定义域为________．解析：对于函数y＝f(x＋1)，该函数的定义域为[0，3]，即0≤x≤3，得1≤x＋1≤4.对于函数y＝f(2x)，则有1≤2x≤4，解得0≤x≤2.因此，函数y＝f(2x)的定义域为[0，2]．答案：[0，2]9．已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．又y＝是单调递减函数，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是，且＝，所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.10．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)，所以所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在(－∞，1]上恒成立．又因为y＝与y＝均为减函数，所以y＝＋也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.B级·素养提升|练能力|11.(2020届安徽省名校高三联考)函数f(x)＝的大致图象是()解析：选A因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B；当x≥0时，f(x)＝，则f′(x)＝，当00；当x>1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故选A.12．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2cD．2a＋2c<22解析：选D作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，因为af(c)>f(b)，结合图象知，00，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0f(c)，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故选D.13．已知函数f(x)＝设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．解析：画出函数图象如图所示，由图象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)同时成立，则≤b<1.b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝－，所以≤b·f(a)<2.答案：14．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由题意得f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．所以t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解得t>1或t<－，所以该不等式的解集为tt>1或t<－.34
