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高中数学浅谈圆锥曲线中的张角问题专题辅导VIP免费

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高中数学浅谈圆锥曲线中的张角问题沈春祥圆锥曲线中的张角问题(特别是与焦半径相关的问题)是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下面从几个方面谈一谈与焦半径相关的张角问题的解题策略。一、曲线定义法我们可以利用椭圆的定义(||||PFPFa122)或双曲线的定义(||||||)PFPFa122解△FPF12求得所需结果。例1.椭圆xaybab222210()上一点P与两个焦点FF12,的张角∠FPF12,求证:△F1PF2的面积为b22tan。图1证明:||||||||||||cos||PFPFaPFPFPFPFFF1212221212222①②①式平方与②式作差得:||||cosPFPFb12221所以SPFPFFPF△121212||||sinbb2212sincostan二、特征图象法利用椭圆或双曲线中a、b、c构成的特征三角形解决问题,有时学生感到比较直观、好用。1.如图2,椭圆中,特征△OF2B2,其三边长分别为a、b、c,ecacos(e(0,1))。图22.如图3,双曲线中,特征△OAB1',其三边长分别为a、b、c,eca1cos(e()1,)。利用这种方法我们可以解决下面这类问题。图3例2.已知双曲线的离心率是2,求它的两条渐近线的夹角。解:cos112e,所以602120°,°所以夹角为18012060°°°。三、正弦定理法如果△PFF12中出现两个角,可以考虑应用正弦定理。例3.已知椭圆xaybab222210()上一点P及两焦点FF12、,若∠PFF12,∠PFF21,试求椭圆的离心率。图4解:由正弦定理有||sin||sin||sin[()]PFPFFF1212180°,即||||sinsin||sin()PFPFFF1212所以eacFFPFPF||||||1212sin()sinsin四、余弦定理法如果在△PFF12中仅知一个角,我们经常要联想到余弦定理解决问题。例4.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,FF12、分别为左、右焦点,双曲线的右支上有一点P,∠FPF123,且△PFF12的面积为23,双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程。图5解:设双曲线的方程为xaybab2222100(),,FcFc1200()(),,,,Pxy()00,。在△PF1F2中,由余弦定理,得||||||||||cosFFPFPFPFPF12212221223··(||||)||||PFPFPFPF12212·,即442212caPFPF||||·又因为SPFF△1223所以1232312||||sinPFPF·所以||||PFPF128·所以44822ca即b22又因为eca2所以a223所以所求双曲线方程为322122xy。五、到角公式法有时角不是特殊角,用余弦定理比较复杂,可以考虑利用直线ll12到的角的公式来解。例5.若椭圆xaybab222210()上有一点Q,到长轴两端点A、B所成的张角∠AQB=120°,试求离心率e的取值范围。图6解:因为椭圆是关于x轴对称的图形,所以不妨设点Q在x轴上方,即Qxyy()()0000,则xayb022021,kyxakyxaAQBQ0000,所以tan∠·AQBkkkkBQAQBQAQ1yxayxayxayxaayxya0000000000202212·所以32123220022aabyyabc()因为bybbabcb02223,所以所以ee223631,所以。六、曲线交轨法通过几何图形,找出适合题意的途径解决问题。例6.椭圆xy22941的焦点为FF12、,点P为其上一个动点,当∠F1PF2为钝角时,求点P的横坐标的取值范围。解:以FF12为直径的圆上的点为Q时,∠FQF122,于是P在以FF12为直径的圆的内部,同时P在椭圆上。易知以FF12为直径的圆的方程为xy225。由xyxy22225941解得xyx2295165355,±即点Q横坐标为±355。所以点P横坐标取值范围是355355x。七、平面向量法利用以下结论,在△FPF12中图71.∠F1PF2为锐角cos∠·FPFPFPF121200;2.∠F1PF2为直角cos∠·FPFPFPF121200;3.∠F1PF2为钝角cos∠·FPFPFPF121200。有关角的问题可以用向量形式表示,再来求解。例7.已知曲线C的方程为xy22431,A(-1,0),B(1,0),过点B的直线l与曲线C交于M,N两点,若∠MAN为钝角,求直线l的倾斜角为的取值范围。解:(1)若l⊥x轴,则l的方程为xMN1132132()(),,,,∠°MAN23490arctan(不合题意)。(2)若l与x轴重...

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