高中数学浅谈圆锥曲线中的张角问题专题辅导VIP专享VIP免费

高中数学浅谈圆锥曲线中的张角问题沈春祥圆锥曲线中的张角问题（特别是与焦半径相关的问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下面从几个方面谈一谈与焦半径相关的张角问题的解题策略。一、曲线定义法我们可以利用椭圆的定义（||||PFPFa122）或双曲线的定义(||||||)PFPFa122解△FPF12求得所需结果。例1.椭圆xaybab222210()上一点P与两个焦点FF12，的张角∠FPF12，求证：△F1PF2的面积为b22tan。图1证明：||||||||||||cos||PFPFaPFPFPFPFFF1212221212222①②①式平方与②式作差得：||||cosPFPFb12221所以SPFPFFPF△121212||||sinbb2212sincostan二、特征图象法利用椭圆或双曲线中a、b、c构成的特征三角形解决问题，有时学生感到比较直观、好用。1.如图2，椭圆中，特征△OF2B2，其三边长分别为a、b、c，ecacos（e(0，1)）。图22.如图3，双曲线中，特征△OAB1'，其三边长分别为a、b、c，eca1cos（e()1，）。利用这种方法我们可以解决下面这类问题。图3例2.已知双曲线的离心率是2，求它的两条渐近线的夹角。解：cos112e，所以602120°，°所以夹角为18012060°°°。三、正弦定理法如果△PFF12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。例3.已知椭圆xaybab222210()上一点P及两焦点FF12、，若∠PFF12，∠PFF21，试求椭圆的离心率。图4解：由正弦定理有||sin||sin||sin[()]PFPFFF1212180°，即||||sinsin||sin()PFPFFF1212所以eacFFPFPF||||||1212sin()sinsin四、余弦定理法如果在△PFF12中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。例4.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，FF12、分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，∠FPF123，且△PFF12的面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。图5解：设双曲线的方程为xaybab2222100()，，FcFc1200()()，，，，Pxy()00，。在△PF1F2中，由余弦定理，得||||||||||cosFFPFPFPFPF12212221223··(||||)||||PFPFPFPF12212·，即442212caPFPF||||·又因为SPFF△1223所以1232312||||sinPFPF·所以||||PFPF128·所以44822ca即b22又因为eca2所以a223所以所求双曲线方程为322122xy。五、到角公式法有时角不是特殊角，用余弦定理比较复杂，可以考虑利用直线ll12到的角的公式来解。例5.若椭圆xaybab222210()上有一点Q，到长轴两端点A、B所成的张角∠AQB＝120°，试求离心率e的取值范围。图6解：因为椭圆是关于x轴对称的图形，所以不妨设点Q在x轴上方，即Qxyy()()0000，则xayb022021，kyxakyxaAQBQ0000，所以tan∠·AQBkkkkBQAQBQAQ1yxayxayxayxaayxya0000000000202212·所以32123220022aabyyabc()因为bybbabcb02223，所以所以ee223631，所以。六、曲线交轨法通过几何图形，找出适合题意的途径解决问题。例6.椭圆xy22941的焦点为FF12、，点P为其上一个动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。解：以FF12为直径的圆上的点为Q时，∠FQF122，于是P在以FF12为直径的圆的内部，同时P在椭圆上。易知以FF12为直径的圆的方程为xy225。由xyxy22225941解得xyx2295165355，±即点Q横坐标为±355。所以点P横坐标取值范围是355355x。七、平面向量法利用以下结论，在△FPF12中图71.∠F1PF2为锐角cos∠·FPFPFPF121200；2.∠F1PF2为直角cos∠·FPFPFPF121200；3.∠F1PF2为钝角cos∠·FPFPFPF121200。有关角的问题可以用向量形式表示，再来求解。例7.已知曲线C的方程为xy22431，A（－1，0），B（1，0），过点B的直线l与曲线C交于M，N两点，若∠MAN为钝角，求直线l的倾斜角为的取值范围。解：（1）若l⊥x轴，则l的方程为xMN1132132()()，，，，∠°MAN23490arctan（不合题意）。（2）若l与x轴重...