中档题专练(五)1.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tanB的值.2.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D为BC的中点.(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1,求证:AD⊥DC1;(2)求证:A1B∥平面ADC1.3.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)如图,在某商业区周边有两条公路l1和l2,在点O处交汇,该商业区是圆心角为π3、半径为3km的扇形.现规划在该商业区外修建一条公路AB,与l1、l2分别交于A、B,要求AB与扇形的弧相切,切点T不在l1、l2上.(1)设OA=akm,OB=bkm,试用a,b表示新建公路AB的长度,求出a,b满足的关系式,并写出a,b的取值范围;(2)设∠AOT=α,试用α表示新建公路AB的长度,并且确定A、B的位置,使得新建公路AB的长度最短.4.已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(c<3),其导函数y=h'(x)的图象如图,设f(x)=6lnx+h(x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线的斜率;(2)若函数f(x)在区间(1,m+12)上是单调函数,求实数m的取值范围;(3)若函数y=-x,x∈(0,6)的图象总是在函数y=f(x)图象的上方,求c的取值范围.答案精解精析1.证明(1)根据正弦定理asinA=bsinB=csinC,且cosAa+cosBb=sinCc,所以cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC=1,故sinAsinB=cosAsinB+cosBsinA=sin(A+B),又因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,得证.(2)因为b2+c2-a2=65bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=65bc2bc=35,因为A为三角形内角,所以sinA=❑√1-cos2A=❑√1-(35)2=45,由(1)知,45sinB=35sinB+45cosB,即15sinB=45cosB,故tanB=sinBcosB=4.2.证明(1)因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.因为平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AD⊂平面ABC,所以AD⊥平面BCC1B1.因为DC1⊂平面BCC1B1,所以AD⊥DC1.(2)连接A1C,交AC1于点O,连接OD,易知O为A1C的中点.因为D为BC的中点,所以OD∥A1B.因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.3.解析(1)在△AOB中,OA=akm,OB=bkm,∠AOB=π3,由余弦定理得,AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=a2+b2-2abcosπ3=a2+b2-ab,则AB=❑√a2+b2-ab.以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(a,0),B(12b,❑√32b),所以直线AB的方程为y=❑√3b212b-a(x-a),即❑√3bx+(2a-b)y-❑√3ab=0,因为AB与扇形的弧相切,所以|❑√3ab|❑√3b2+(2a-b)2=3,则所求关系式为a2+b2=112a2b2+ab,a,b∈(3,6).(2)因为AB是圆O的切线,所以OT⊥AB.在Rt△OTA中,AT=3tanα,在Rt△OTB中,BT=3tan(π3-α),所以AB=AT+TB=3tanα+3tan(π3-α)(0<α<π3).所以AB=3(tanα+❑√3-tanα1+❑√3tanα)=3❑√3tan2α+11+❑√3tanα.设u=1+❑√3tanα,u∈(1,4),则AB=3❑√3·(u-1❑√3)2+1u=❑√3(u+4u-2)≥2❑√3,当且仅当u=2,即α=π6时,取等号,此时,OA=OB=2❑√3km.则当OA=OB=2❑√3km时,新建公路AB的长度最短.4.解析(1)由图得h'(x)=2x-8,∴f(x)=6lnx+x2-8x+c,∴f'(x)=6x+2x-8,f'(2)=-1,所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为-1.(2)f'(x)=6x+2x-8=2(x-1)(x-3)x,其中x>0,列表如下:x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗↘↗∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞),f(x)的单调递减区间为(1,3).要使函数f(x)在区间(1,m+12)上是单调函数,则{1f(x)在x∈(0,6)上恒成立,得-x>6lnx+x2-8x+c在x∈(0,6)上恒成立,即c<-x2+7x-6lnx在x∈(0,6)上恒成立,设g(x)=-x2-6lnx+7x,x∈(0,6],则c0,∴当x∈(32,2)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,当x∈(0,32)和(2,6]时,g'(x)<0,g(x)为减函数,∴g(x)的最小值为g(32)和g(6)的较小者.g(32)=-94-6ln32+7×32=334-6ln32,g(6)=-36-6ln6+42=6-6ln6,g(32)-g(6)=94-6ln32+6ln6=94+12ln2>0,∴g(x)min=g(6)=6-6ln6.又c<3,∴c<6-6ln6.
