第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系一、填空题1.线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是____________．(用符号表示)答案：AB⊂α解析：由公理1可知AB⊂α.2.已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为________．答案：P∈l解析：因为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，P∈α，P∈β，所以P∈l.3.设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a∥b，b⊥c，则a⊥c.上述命题中正确的是________．(填序号)答案：①④解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故③错误；根据异面直线所成角的定义知④正确．4.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是________．(填序号)①l与l1，l2都不相交；②l与l1，l2都相交；③l至多与l1，l2中的一条相交；④l至少与l1，l2中的一条相交．答案：④解析：若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，这与l1和l2是异面直线相矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交．故④正确．5.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有__________条．答案：4解析： EF是△OB1C1的中位线，∴EF∥B1C1. B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴与EF平行的棱共有4条．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的有________对．答案：3解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．7.已知ABCDA1B1C1D1是正方体，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是________．(填序号)①A，M，C1三点共线；②M，O，A1，A四点共面；③A，O，C，M四点共面；④B，B1，O，M四点共面．答案：①④解析：作出图形，可知②③正确．8.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．1答案：60°解析：如图，取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，设AB＝1，则AA1＝，AB1＝，B1E＝，故∠AB1E＝60°.9.如图，点G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案：②④解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M,N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断正确的是________．(填序号)①MN与CC1垂直；②MN与AC垂直；③MN与BD平行；④MN与A1B1平行．答案：①②③解析：连结B1C，B1D1，则MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1. CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD，故①②③正确． A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，因此④错误．二、解答题11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.(1)求证：D，B，E，F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D，B，F，E四点共面(设为α)．2(2)解：由于AA1∥CC1，所以A1，A，C，C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β，同理可证得Q∈α∩β，所以有α∩β＝PQ.因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点，连结A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．12.如图，在正方体ABCDA1B1C1D...
