第二讲三角恒等变换与解三角形(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若cosα=-,α是第三象限的角,则=()A.3B.-C.D.【解析】选B.因为cosα=-,α是第三象限的角,所以sinα=-,则===-.2.设a=2sincos,b=cos25°-sin25°,c=,则()A.a
tanA,则角A所对的边最小.由tanA=可知sinA=,由正弦定理=,得a=sinA·=×=.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b,若△ABC的面积S=c,则ab的最小值为()A.B.C.D.3【解析】选B.由题意得2sinCcosB=2sinA+sinB⇒2sinCcosB=2(sinBcosC+cosBsinC)+sinB⇒cosC=-,所以S=absinC=ab=c⇒c=3ab.因为cosC=,所以-=≥,解得ab≥,当且仅当a=b=时,等号成立,即ab的最小值为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知tanα=4,则=____________.【解析】===.答案:7.若tanα,tanβ是方程x2+5x+6=0的两个根,且α,β∈,则α+β=____________.【解析】因为tanα,tanβ是方程x2+5x+6=0的两个根,所以tanα+tanβ=-5,tanα·tanβ=6,所以tanα<0,tanβ<0,所以tan(α+β)===1,又因为α,β∈,所以α+β=-π.答案:-π8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,若c=2acosB,S=a2-c2,则C的大小为____________.【解析】因为c=2acosB,所以sinC=2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,所以tanA=tanB,所以A=B,又因为S=a2-c2,所以sinC=-,由正弦定理得sinC=1-,因为A=B,所以sinA=cos,所以sinC=cosC,所以C=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,已知a=2,b2+c2-4=4S,B>A,2sinBsinC=cosA.(1)求A的值.(2)判断△ABC的形状并求△ABC的面积.【解析】(1)因为b2+c2-4=4S,所以b2+c2-a2=4·bcsinA,由余弦定理得,cosA=sinA,所以tanA=,因为A∈(0,π),所以A=.(2)因为2sinBsinC=cosA,A+B+C=π,所以2sinBsinC=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC,即sinBsinC+cosBcosC=0,cos(B-C)=0,所以B-C=或C-B=.(ⅰ)当B-C=时,由第(1)问知A=,所以B=,C=,所以△ABC是等腰三角形,S=acsinB=;(ⅱ)当C-B=时,由第(1)问知A=,所以C=,B=,又因为B>A,矛盾,舍去.综上,△ABC是等腰三角形,其面积为.10.已知在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求.(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.【解析】(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD,因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC,在△ABC中,由正弦定理得:=,所以==.(2)设∠ADB=θ,则∠ADC=π-θ.由(1)知==,所以c=2b①,因为CD=,所以BD=,在△ACD中,由余弦定理得,b2=1+-2×1×cos(π-θ),即b2=+cosθ②,在△ABD中,由余弦定理,c2=1+2-2×1×cosθ,即c2=3-2×cosθ③,由①②③得b=1,故AC=1.11.在锐角△ABC中,2sincos+2cosBsinC=.(1)求角A.(2)若BC=,AC=2,求△ABC的面积.【解析】(1)因为2sincos+2cosBsinC=,所以sin(B-C)+2cosBsinC=,则sinBcosC-cosBsinC+2cosBsinC=sin(B+C)=,即sinA=,由△ABC为锐角三角形得A=.(2)在△ABC中,a=BC,b=AC,a2=b2+c2-2bccosA,即7=4+c2-2×2c×,化简得c2-2c-3=0,解得c=3(负根舍去),所以S△ABC=bcsinA=.【提分备选】1.如图所示,某镇有一块空地△OAB,其中OA=3km,OB=3km,∠AOB=90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山,剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在△OAN的周围安装防护网.(1)当AM=km时,求防护网的总长度.(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍,试确定∠AOM的大小.(3)为节省投入资金,人工湖...
