巧变一题探究“幂”秘幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．例1若，试求实数的取值范围．错解（数形结合）：由图1可知解得．剖析：函数虽然在区间和上分别具有单调性，但在区间上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的．正解（分类讨论）：（1）解得；（2）此时无解；（3）解得．综上可得．现在把例1中的指数换成3看看如何．例2若，试求实数的取值范围．错解（分类讨论）：由图2知，（1）解得；用心爱心专心（2）此时无解；（3）解得．综上可得．剖析：很明显，此解法机械地模仿例1的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同．由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的决定作用．正解（利用单调性）：由于函数在上单调递增，所以，解得．例2的正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维．下面再对和时的两个问题与解法进行探究．例3若，试求实数的取值范围．解：由图3知解得．例4若，试求实数的取值范围．解析：作出幂函数的图象如图4．由图象知此函数在上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑时，．于是有，即．幂函数在上单调递增，，解得，或．用心爱心专心上述解法意识到幂函数在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展．解题点悟：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如（是常数）型的不等式解法有了以下体会：①当，解法同例1；②当，解法同例2；③当，解法同例3；④当，解法同例4．编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识，其中例4解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法，超出了我们的所学范围，但它其中蕴含的这种“转化”的思想，一方面拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，当然此题还可用分类讨论的方法解决，同不们不妨一试．用心爱心专心
