考点21正弦定理和余弦定理的应用1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝()A.B.C．2D．3【答案】D【解析】由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.2．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5【答案】D3．在凸平面四边形中，，且，，，则的面积等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在凸平面四边形中，，得，在中，,在中，.由，得BD=7.再由,得sin=，.故选：D.4．在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】A5．已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2B．8C．6D．3【答案】D【解析】 ，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么角A∶B∶C为()A．1∶1∶3B．1∶2∶3C．1∶3∶2D．1∶4∶1【答案】B【解析】由正弦定理＝，得sinB＝＝. B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B.7．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC．若a＝，则b2＋c2的取值范围是()A．(3,6]B．(3,5)C．(5,6]D．[5,6]【答案】C8．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A.B.C．－D．－【答案】C【解析】设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cosA＝＝＝－，故选C.9．在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D10．如图，在中，，,为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为()A．B．C．D．【答案】B11．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为100m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．100mB．100mC．50mD．25m【答案】C12．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为．【答案】120°【解析】由sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角为C.由余弦定理得cosC＝－，∴C＝120°.13．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝.【答案】1【解析】 a＝c，∴sinA＝sinC， A＝，∴sinA＝，∴sinC＝，又C必为锐角，∴C＝，B＝，∴b＝c.∴＝1.14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，则b＝.【答案】【解析】因为cosA＝，所以sinA＝＝＝，所以sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinA·cosB＋cosAsinB＝cos45°＋sin45°＝.由正弦定理＝，得b＝×sin45°＝.15．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cosA＝.【答案】16．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）已知，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）17．在中，角，，所对的边分别为，，，，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，，由正弦定理得，，∴，又，，，得到，即.（2）由（1）知，，且，所以，∴.18．在△ABC中，．（1）求∠B的大小；（2）若△ABC的面积为a2，求cosA的值．【答案】（1）；（2）19．在三角形ABC中，已知角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且.（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，D为BC的中点，AD=2，求△ABC的面积.【答案】（1）（2）【解析】（I）由正弦定理及得，，所以，所以，20．如图，在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若边上的中线的长为，且，求的长.【答案】（1）(2)21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1,2cosC＋c＝2b.(1)求A；(2)若b＝，求sinC.【答案】A＝；.【解析】(1) a＝1,2cosC＋c＝2b，由余弦定理得2×＋c＝2b，即b2＋c2－1＝bc.∴cosA＝＝＝.由于0＜A＜π，∴A＝.(2)由b＝，及b2＋c2－1＝bc，得＋c2－1＝c，即4c2－2c...
