第2节证明不等式的基本方法课时作业1．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.证明：因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥，当且仅当＝＝，即a＝b＝c时，等号成立．所以＋＋＋abc≥＋abc.而＋abc≥2＝2，当且仅当＝abc，即abc＝时，等号成立，所以＋＋＋abc≥2.2．设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；(2)求证：＋＋≥2.解：(1)要证2ab＋bc＋ca＋≤，只需证1≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，即证1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≥0，而1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝(a＋b＋c)2－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0成立，∴2ab＋bc＋ca＋≤.(2)∵≥，≥，≥，∴＋＋≥(＋)＋(＋)＋(＋)＝a(＋)＋b(＋)＋c(＋)≥2a＋2b＋2c＝2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．3．(2019抚顺模拟)已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|.(1)若不等式f(x)≥|m＋1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)的条件下，若正数，b，满足a＋2b＋c＝M，求证：＋≥1.解析：(Ⅰ)若f(x)≥|m＋1|恒成立，即f(x)min≥|m＋1|由绝对值的三角不等式|x－3|＋|x＋2|≥|x－3－x－2|＝5，得f(x)min＝5即|m＋1|≤5，解得－6≤m≤4，所以M＝4(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知a＋2b＋c＝4，得(a＋b)＋(b＋c)＝4所以有＋＝[(a＋b)＋(b＋c)]＝≥(2＋2)＝1即＋≥1.4．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；1(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，故由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9.5．(2018丹东二模)设函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|，若－2＜f(a)＜0，－2＜f(b)＜0.(1)证明：|a＋b|＜1；(2)比较2|a－b|与|1－4ab|的大小．解析：(1)f(x)＝由得－＜x＜，从而－＜a＜，－＜b＜，|b|＜.所以|a＋b|≤|a|＋|b|＜＋＝1.(2)(2|a－b|)2－|1－4ab|2＝(4a2－1)(4b2－1)．由(1)得a2＜，b2＜，所以(4a2－1)(4b2－1)＞0，故2|a－b|＞|1－4ab|.6．已知a＞0，b＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值为1.(1)求证：2a＋b＝2；(2)若a＋2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．解：(1)法一：f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|＝|x＋a|＋＋，∵|x＋a|＋≥|(x＋a)－|＝a＋且≥0，∴f(x)≥a＋，当x＝时取等号，即f(x)的最小值为a＋，∴a＋＝1,2a＋b＝2；法二：∵－a＜，∴f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|＝显然f(x)在上单调递减，f(x)在上单调递增，∴f(x)的最小值为f＝a＋，∴a＋＝1,2a＋b＝2.(2)方法一：∵a＋2b＝tab恒成立，∴＝t恒成立，＝＋＝(2a＋b)·＝≥＝，当a＝b＝时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；2方法二：∵a＋2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤＝＋恒成立，＋＝＋≥＝，∴≥t，即实数t的最大值为.7．(2018合肥三模)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|.(Ⅰ)解不等式f(x)≤x＋1；(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a＞0，b＞0，a＋b＝c，求证：＋≥1.解析：(Ⅰ)f(x)≤x＋1，即|x－1|＋|x－3|≤x＋1.(1)当x＜1时，不等式可化为4－2x≤x＋1，x≥1.又∵x＜1，∴x∈；(2)当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x＋1，x≥1.又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3.(3)当x＞3时，不等式可化为2x－4≤x＋1，x≤5.又∵x＞3，∴3＜x≤5.综上所得，1≤x≤3，或3＜x≤5，即1≤x≤5.∴原不等式的解集为[1,5]．(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，|x－1|＋|x－3|≥|(1－x)＋(x－3)|＝2，∴c＝2，即a＋b＝2.令a＋1＝m，b＋1＝n，则m＞1，n＞1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，＋＝＋＝m＋n＋＋－4＝≥＝1，原不等式得证.8．(2018烟台二模)已知函数f(x)＝|x－m|＋|x＋1|(m∈R)d的最小值为4.(1)求m的值；(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋2b＋3c＝m，求证：＋＋≥3.解析：(1)f(x)＝|x－m|＋|x＋1|≥|(x－m)－(x＋1)|＝|m＋1|，所以|m＋1|＝4，解得m＝－5或m＝3.(2)由题意，a＋2b＋3c＝3.于是＋＋＝(a＋2b＋3c)＝≥＝3，当且仅当a＝2b＝3c时等号成立，即a＝1，b＝，c＝时等号成立．34
