第2节证明不等式的基本方法课时作业1．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2
证明：因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥，当且仅当＝＝，即a＝b＝c时，等号成立．所以＋＋＋abc≥＋abc
而＋abc≥2＝2，当且仅当＝abc，即abc＝时，等号成立，所以＋＋＋abc≥2
2．设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1
(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；(2)求证：＋＋≥2
解：(1)要证2ab＋bc＋ca＋≤，只需证1≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，即证1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≥0，而1－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝(a＋b＋c)2－(4ab＋2bc＋2ca＋c2)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0成立，∴2ab＋bc＋ca＋≤
(2)∵≥，≥，≥，∴＋＋≥(＋)＋(＋)＋(＋)＝a(＋)＋b(＋)＋c(＋)≥2a＋2b＋2c＝2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．3．(2019抚顺模拟)已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|
(1)若不等式f(x)≥|m＋1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)的条件下，若正数，b，满足a＋2b＋c＝M，求证：＋≥1
解析：(Ⅰ)若f(x)≥|m＋1|恒成立，即f(x)min≥|m＋1|由绝对值的三角不等式|x－3|＋|x＋2|≥|x－3－x－2|＝5，得f(x)min＝5即|m＋1|≤5，解得－6≤m≤4，所以M＝4(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知a＋2b＋c＝4，得(a＋b)＋(b＋c)＝4所以有＋＝[(a＋b)＋(b＋c)]＝≥(2＋2)＝1即＋≥1
4．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；1(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9
解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价
