6个解答题综合仿真练(三)1．已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(sinx，cos2x)．(1)当x＝时，求m·n的值；(2)若x∈，且m·n＝－，求cos2x的值．解：(1)当x＝时，m＝，n＝，所以m·n＝－＝.(2)m·n＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x－＝sin－，若m·n＝－，则sin－＝－，即sin＝，因为x∈，所以－≤2x－≤，所以cos＝，则cos2x＝cos＝cos×cos－sinsin＝×－×＝.2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．(1)求证：MN∥平面AA1C1C；(2)若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN.证明：(1)法一：取A1C1的中点P，连结AP，NP.因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝A1B1.在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB.所以NP∥AB，且NP＝AB.因为M为AB的中点，所以AM＝AB.所以NP＝AM，且NP∥AM，所以四边形AMNP为平行四边形，所以MN∥AP.因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.法二：取BC的中点Q，连结NQ，MQ.由三棱柱可得，四边形BCC1B1为平行四边形．又Q，N分别为BC，B1C1的中点，所以CQ∥C1N，CQ＝C1N，所以四边形CQNC1为平行四边形．所以NQ∥CC1.因为NQ⊂平面MNQ，CC1⊄平面MNQ，所以CC1∥平面MNQ.因为AM＝MB，CQ＝QB，所以MQ∥AC.同理可得AC∥平面MNQ.因为AC⊂平面AA1C1C，CC1⊂平面AA1C1C，AC∩CC1＝C，所以平面MNQ∥平面AA1C1C.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面AA1C1C.(2)因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB.因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1.在三棱柱ABCA1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN⊥BC.因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC，CN⊂平面CC1B1B，所以CN⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以CN⊥AB.因为CM⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，CM∩CN＝C，所以AB⊥平面CMN.3.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1米，如图所示．小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E处的切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T.(1)试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；(2)求时间T最短时cosθ的值．解：(1)如图，过O作OG⊥BC于G，则OG＝1，OF＝＝，EF＝1＋，＝θ，所以T(θ)＝＋＝＋＋，θ∈.(2)由(1)知，T(θ)＝＋＋，θ∈，T′(θ)＝－＝＝－，记cosθ0＝，θ0∈，则T(θ)，T′(θ)随θ的变化情况如表所示：θθ0T′(θ)－0＋T(θ)极小值故当cosθ＝时，时间T最短．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；(3)记直线l与y轴的交点为P.若AP＝TB，求直线l的斜率k.解：(1)因为椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，所以＋＝1.因为e2＝＝，所以＋＝1，又a2＝b2＋c2，＋＝1，解得b2＝4或b2＝8(舍去)．所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．联立直线l与椭圆方程消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程消去y得(2k2＋1)x2＝8，解得x2＝.因为MN∥l，所以＝，因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝，(xM－xN)2＝4x2＝.所以＝×＝.(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，从而AP＝(－x1，－k－y1)，TB＝(x2－1，y2)， AP＝TB，∴－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝，①由(2)知x1＋x2＝，②联立①②得x1＝，x2＝.又x1x2＝，∴50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－(舍去)．又因为k＞0，所以k＝.5．定义：从一个数列{an}中抽取若干项(不少于三项)按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差(比)的子数列叫做{an}的等差(比)子列．(1)求数列1，，，，的等比子列；(2)设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1.①试给出一个{an}，使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程)；②若{an}存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值．解：(1)显然从数列中抽取四项或五项时，...
