第五讲导数及其应用1．、[2014·广东卷]曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x＋y＋2＝0[解析] y′＝－5ex，∴所求切线斜是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15【解析】 y＝x3＋11，∴y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，∴曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.【答案】C3．(2013·江西高考)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.【解析】因为y′＝α·xα－1，所以在点(1,2)处的切线斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.【答案】24．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【解析】 f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．【答案】D5．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取值范围是________．【解析】 f′(x)＝3x2＋1＞0恒成立，∴函数f(x)在R上是增函数．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．由f(mx－2)＋f(x)＜0得f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)，∴mx－2＜－x，即xm－2＋x＜0在m∈[－2,2]上恒成立．记g(m)＝xm－2＋x，则即得－2＜x＜.【答案】6．[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)答案：C[解析]显然a＝0时，函数有两个不同的零点，不符合．当a≠0时，由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减，又f(0)＝1，所以函数f(x)存在小于0的零点，不符合题意；当a<0时，函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递减，在上单调递增，所以只需f>0，解得a<－2，所以选C.7（2013山东）已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx(a，b∈R)．(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；(2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较lna与－2b的大小．解：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和相关函数值的大小比较，考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力．(1)由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝.1①当a＝0时，f′(x)＝.(ⅰ)若b≤0，当x>0时，f′(x)<0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．(ⅱ)若b>0，当0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.②当a>0时，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0.由Δ＝b2＋8a>0，得x1＝，x2＝.当0x2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当a＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，＋∞.(2)由题意知，函数f(x)在x＝1处取得最小值．由(1)知是f(x)的唯一极小值点，故＝1，整理得2a＋b＝1即b＝1－2a.令g(x)＝2－4x＋lnx，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝，当00，g(x)单调递增；当x>时，g′(x)<0，g(x)单调递减．因此g(x)≤g＝1＋ln＝1－ln4<0.故g(a)<0，即2－4a＋lna＝2b＋lna<0，即lna<－2b.8、(2013·福建高考)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．【思路点拨】(1)首先确定定义域，再利用导数求切线斜率及其方程；(2)先求出函数导数，再讨论字母a的取值以确定单调性．【尝试解答】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x＞0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))...
