江西省吉安一中2014-2015学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分）1.不等式的解集为（）A.B.C.D.2.设等差数列的前项和为，若、是方程的两个根，则的值为（）A.B.5C.D.3.在△中，如果，那么角等于（）A.B.C.D.4.下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.5.在△中，若，则其形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（）A.B.C.D.7.对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.8.是△三角形的外接圆半径，若，则∠C为（）A.锐角B.直角C.钝角D.无法判断9.已知数列的前项和为满足：，且，那么的值为（）A.1B.9C.10D.5510.若关于的方程有解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.111.设、是关于的二次方程的两个实根，为实数，则的最小值为A.B.C.1D.212.已知均为正数，若，，，依次成等比数列，且公比为，则的值为（）A.0B.1C.3D.不能确定二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）13.在Rt△ABC中，∠A=30°，动点D在斜边AB上运动，则∠BCD＜=60°的概率为。14.设，且，则的最小值是。15.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为km。16.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是。三、解答题（本大题共6道小题，共70分）17.（本小题满分10分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5则中二等奖，等于4或3则中三等奖。（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率。18.（本小题满分12分）已知，解关于的不等式。19.（本小题满分12分）在△ABC中，分别是A、B、C的对边，且。（1）求角B的值；（2）若，求△ABC面积S的最大值。20.（本小题满分12分）2已知各项均不相等的等差数列的前四项和为14，且、、恰为等比数列的前三项。（1）分别求数列、的前项和为、；（2）记为数列的前项和为，设，求证：（）。21.（本小题满分12分）已知二次函数，设方程的两个实根为和。（1）如果，若函数的对称轴为，求证：；（2）如果且，求得取值范围。22.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且。数列满足，且，。（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；（3）设，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。3【试题答案】1.A2.A3.B4.C5.B6.C7.D8.C9.A10.D11.C12.B13.14.15.3016.17.解析：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B。从四个小球中有放回地取两球有：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种不同的结果。2分（1）取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：，，，，，，共7种结果，则中三等奖的概率为5分（2）由（1）知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：，。两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：则中奖的概率为10分18.解析：不等式可化为。∵，∴，则原不等式可化为，3分故当时，原不等式的解集为；6分当时，原不等式的解集为；9分当时，原不等式的解集为。12分19.解析：（1）由正弦定理得，即得，因为，所以，得，因为，所以，又为三角形的内角，所以6分（2），由及得4，又，所以当时，S取最大值。12分20.解析：（1）设公差为，则，解得或（舍去），，所以，，，4分（2）因为，①故。②①－②，得，所以8分则，，所以。12分21.解析：（1）证明：设且，由得且，即，∴，由得，∴，故6分（2）由可知，∴、同号，①若，则，∴，∴5又，得（由，所以负根舍去）代入上式得，解答；②若，则，∴即。同理可求得，故当时；当时，。12分22.解析：（1）当时，；当时，。而满足上式。∴。又即，∴是等差数列。设公差为。又，∴解得，。∴4分（2）∴∵∴单调递增，。令，得∴。8分（3）①当为奇数时，为偶数。∴，。②当为偶数时，为奇数。∴，（舍去）。综上，存在唯一的正整数，使得成立。12分6
