高考数学复习点拨 例析反证法及其应用VIP专享VIP免费

例析反正法的应用我们知道，反证法是先否定结论成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理，公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的.反证法是间接证明的一种基本方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，也是数学上非构造性证明中极为重要的方法，它对于处理存在性命题、否定性命题、唯一性命题和至少、至多性命题具有特殊的优越性。现以例说明。一否定型命题当结论为“否定性”的命题时，应用反证法。也就是说原题的结论出现“不可能……”、“不能表示为……”、“不是……”、“不存在……”、“不等于……”、“不具有某种性质”等否定形式出现时，可考虑使用反证法进行证明。例1、试证2不是有理数。分析：要求证的结论是以否定的形式出现的，因此可应用反正法来进行证明。证明：假设2是有理数，注意到11242，可设2pq（p、q为互质的正整数，且1q），两边平方，得222qp①，①表明，2p是2的倍数，因为p是正整数，故当p是奇数时，令21pk（pN），则22(21)pk224412(22)1kkkk，即2p是奇数，与2p是2的倍数矛盾。当p是偶数，又可设2pl（*pN），代入①式，整理后得222ql②，②式表明，2q是2的倍数。这样p与q都是2的倍数，它们至少有公因数2，与所作假定p、q为互质的正整数相矛盾。因此2不是有理数。点评：在应用反证法证题时，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与自身相矛盾二存在性命题当命题的结论是以存在性的形式出现时，宜用反证法。也就是说，解决存在性探索命题的总体策略是先假设结论存在，并以此进行推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，经验证成立即可肯定假设正确。用心爱心专心例2、直线1ykx与双曲线C：2221xy的右支交于不同的两点,AB，⑴求实数k的范围；⑵是否存在实数k使得以线段AB为直经的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在求出的值；若不存在，说明理由。分析：第（1）提示求参数范围的常规题，第⑵问是一道探讨结论是否存在的开放性命题，为此先假设结论存在并在此假设的条件下进行一系列的推导，或推出矛盾或验证成立。解：⑴略可求得22k。⑵由22121ykxxy消去y得22(2)220kxkx，①设,AB两点的坐标为1122(,),(,)xyxy，则12,xx时方程①的两解所以12122222,22kxxxxkk，假设存在实数k使得以线段AB为直经的圆经过双曲线C的右焦点(,0)Fc，则FAFB，得1212()()0xcxcyy，即1212()()(1)(1)0xcxckxkx整理得221212()()10kxxkcxxc，将1212,xxxx及22c带入上式，得252660kk，解得665k或662,25k（舍去）从而存在实数665k使得以线段AB为直经的圆经过双曲线C的右焦点。点评：在本题在假设的条件下推导出的结果并没有出现矛盾，而是验证了存在符合题设条件的实数，从判断结论存在，对于探究具有某种性质的存在性问题，一般先由特例探求结果的存在性，然后进行论证。三“至少”、“至多”型命题当命题的结论是以“至多”、“至少”的形式出现时，可考虑应用反证法来解决。例3、设,,abc均为实数，且222axy，223byz，226czx用心爱心专心求证：,,abc中至少有一个大于0。分析：如果直接从条件出发推证，方向不明，思路不清，不移入手，较难，说证结论是以“至少”形式出现，因而可用反证法证明。证明：设,,abc中都不大于0，即0,0,0abc0abc而222(2)(2)(2)236abcxyyzzx222(2)(2)(2)xxyyzz222(1)(1)(1)3xyz0abc，这与0abc矛盾，故,,abc中至少有一个大于0点评：当遇到命题的结论是以“至多”“至少”等形式给出时，一般是多用反证法；应注意“至少有一个”“都是”的否定形式分别是“一个也没有”“不都是”，本题是一个自相矛盾的题目类型。四“唯一”性命题，若命题的结论是以“唯一”、“有且只有一个”等形式出现时，可用反证法...