第三讲直线与圆锥曲线的综合问题一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．1．当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．2．当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．二、圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.基础自测1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定【解析】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．【答案】A2．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是()A.B.C.D.∪【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.【答案】C3．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．【解析】直线l的方程为y＝x＋1，由得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.【答案】164．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．【解析】由题意A点的坐标(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为(－，)，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.【答案】1考点一中点弦、弦长问题例已知F1(－1,0)、F2(1,0)，圆F2：(x－1)2＋y2＝1，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F1，F2为焦点的椭圆．(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且|PF1|＝，求曲线E的标准方程；(3)在(1)、(2)的条件下，直线l与椭圆E相交于A、B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．【思路点拨】(1)利用两圆外切的性质求曲线C的方程．(2)利用|PF1|＝可求点P的横坐标，进一步求|PF2|的长，再结合椭圆的定义求出椭圆的方程．(3)设出直线l的方程，与椭圆方程联立利用根与系数的关系求解或用点差法求解．【尝试解答】(1)设动圆圆心的坐标为(x，y)(x＞0)因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，所以|CF2|－x＝1，∴＝x＋1，化简整理得y2＝4x，曲线C的方程为y2＝4x(x＞0)；(2)依题意，c＝1，|PF1|＝，可得xp＝，∴|PF2|＝，又由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝4，a＝2.∴b2＝a2－c2＝3，所以曲线E的标准方程为＋＝1；(3)(方法一)设直线l与椭圆E交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B的中点M的坐标为(x0，y0)，设直线l方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，与＋＝1联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由Δ＞0得4k2－m2＋3＞0；①由韦达定理得x1＋x2＝－，∴x0＝－，y0＝，将M代入y2＝4x，整理得m＝－，②将②代入①得162k2(3＋4k2)＜81，令t＝4k2(t＞0)，则64t2＋192t－81＜0，∴0＜t＜.∴－＜k＜且k≠0.(方法二)设直线l与椭圆E交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B的中点M的坐标为(x0，y0)，将A，B的坐标代入椭圆方程中，得两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0，∴＝－， y＝4x0，∴直线AB的斜率k＝＝－y0，由(2)知xp＝，∴y＝4xp＝，∴yP＝±，由题设－＜y0＜(y0≠0)，∴－＜－y0＜，即－＜k＜(k≠0)．方法与技巧1.在第2问方法一中，根据Δ＞0求t的范围，进而去求k的取值范围，这是求解的关键.2.涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出kAB＝和x1＋x2，y1＋y2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想.跟踪练习设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范...
