课时跟踪检测（二）正弦定理的应用层级一学业水平达标1．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC的形状是________．解析：在△ABC中，由正弦定理得a＝c.∴△ABC为等腰三角形．答案：等腰三角形2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．解析：由正弦定理知，＝，结合条件得c＝＝2.又sinA＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝＋1.答案：＋13．在△ABC中，若b＝acosC，则△ABC的形状是________．解析： b＝acosC，＝，∴sinB＝sinAcosC. B＝π－(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinAcosC.即sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC，∴cosAsinC＝0， A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，即A＝，∴△ABC为直角三角形．答案：直角三角形4.在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的纵截面如图(顶部已经坍塌了)，A＝50°，B＝55°，AB＝120m，则它的高为________m．(结果取整数)解析：延长AM，BN交于点C(图略)，C＝180°－A－B＝75°.由正弦定理有，AC＝·sinB＝.设高为h，则h＝AC·sinA＝·sin50°≈78(m)．答案：785．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4bsinA，则cosB＝________.解析： a＝4bsinA，由正弦定理得sinA＝4sinBsinA，∴sinB＝，cosB＝＝＝.答案：6．在△ABC中，已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，则△ABC的形状为________．解析： b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，由正弦定理，得2sin2Bsin2C＝2sinBsinCcosBcosC，即sinBsinC＝cosBcosC，∴cos(B＋C)＝0，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，∴△ABC是直角三角形．答案：直角三角形7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.解析：由＝，所以＝，所以sinB＝，又 a>b，∴B＝30°，∴C＝90°，∴△ABC为直角三角形，由勾股定理得c＝2.答案：28．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝2，b＝，A＋C＝2B，则A＝________.解析：因为所以B＝，又因为＝，所以sinA＝＝＝，所以A＝45°.答案：45°9.如图，一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求此时船与灯塔的距离．解：如题图，由正弦定理得，＝，所以BC＝30km.∴此时船与灯塔的距离为30km.10．在△ABC中，已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形．解：因为，a＝2bcosC，所以，由正弦定理得2RsinA＝4RsinBcosC.所以2cosCsinB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．所以sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.所以B－C＝nπ(n∈Z)．又因为B，C是三角形的内角，所以B＝C，即△ABC为等腰三角形．层级二应试能力达标1．在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，则该三角形的形状是________．解析：由已知条件，lg(sinA＋sinC)＋lg(sinC－sinA)＝lgsin2B，∴sin2C－sin2A＝sin2B.由正弦定理可得c2＝a2＋b2.故三角形为直角三角形．答案：直角三角形2.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则AB＝________m.解析：因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，根据正弦定理得＝，解得AB＝50m.答案：503．在△ABC中，已知＝，则△ABC的形状为________．解析：因为＝，a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以＝.又因为sinAsinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.故△ABC是等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________．解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosB·sinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝.答案：直角三角形5．在△ABC中，b＝8，c＝8，S△ABC＝16，则A＝________.解析：由S△ABC＝bcsinA得sinA＝，又因为0°
