第5讲三角函数的图象与性质1.若θ∈(21π4,11π2),则❑√1-cos2(3π2-θ2)=()A.-sinθ2B.-cosθ2C.cosθ2D.sinθ2-cosθ22.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于P(12,y0),则sin(π2+2α)=()A.-12B.1C.12D.-❑√323.(2018西安八校联考)已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3时取得最小值,则f(x)在[0,π]上的单调递增区间是()A.[π3,π]B.[π3,2π3]C.[0,2π3]D.[2π3,π]4.若关于x的方程2sin(2x+π6)=m在[0,π2]上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,❑√3)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,❑√3]5.水车是古代劳动人民进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.下图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3❑√3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到点P,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2,则下列叙述错误的是()A.R=6,ω=π30,φ=-π6B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减D.当t=20时,|PA|=6❑√36.已知tanα=13,则1cos2α-2sinαcosα+5sin2α的值为.7.在函数①y=cos|2x|,②y=|cos2x|,③y=cos(2x+π6),④y=tan2x中,最小正周期为π的所有函数的序号为.8.已知函数f(x)=cos(3x+π3),其中x∈[π6,m]m∈R且m>π6,若f(x)的值域是-1,-❑√32,则m的最大值是.9.已知函数f(x)=❑√3sin2x-2sin2x.(1)若点P(1,-❑√3)在角α的终边上,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.10.(2018湖北八校联考)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是[5π12,11π12].将y=f(x)的图象先向左平移π4个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为g(x).(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)在区间[0,π4]上的最大值和最小值.11.已知函数f(x)=❑√3sin2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(其中0<ω<1),若点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)求f(x)的解析式,并求距y轴最近的一条对称轴的方程;(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π2)图象的相邻两对称轴之间的距离为π2,且在x=π8时取得最大值1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x∈[0,9π8]时,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3,求x1+x2+x3的取值范围.答案全解全析1.B θ∈(4π+5π4,4π+3π2),∴θ2∈2π+5π8,2π+3π4,则❑√1-cos2(3π2-θ2)=❑√1-sin2θ2=|cosθ2|=-cosθ2.2.A由题意知当x=12时,y0=-❑√32或y0=❑√32,所以sinα=-❑√32或sinα=❑√32,又因为sin(π2+2α)=cos2α=1-2sin2α,所以sin(π2+2α)=1-2×34=-12.3.A因为0<θ<π,所以π3<π3+θ<4π3,又f(x)=cos(x+θ)在x=π3时取得最小值,所以π3+θ=π,θ=2π3,所以f(x)=cos(x+2π3).所以f(x)的单调递增区间为[-53π+2kπ,-23π+2kπ],k∈Z,所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间是[π3,π],故选A.4.C2sin(2x+π6)=m在[0,π2]上有两个不等实根等价于函数f(x)=2sin(2x+π6)的图象与直线y=m在[0,π2]上有两个交点.如图,在同一坐标系中作出y=f(x)与y=m的图象,由图可知m的取值范围为[1,2).故选C.5.C由点A(3❑√3,-3)可得R=6.由旋转一周用时60秒可得T=2πω=60,则ω=π30.由点A(3❑√3,-3)可得∠AOx=π6,则φ=-π6,故A叙述正确.当t∈[35,55]时,π30t-π6∈[π,5π3],∴当π30t-π6=3π2时,得点P(0,-6),此时,点P到x轴的距离最大且为6,故B叙述正确. f(t)=6sin(π30t-π6),∴当t=20时,水车旋转了三分之一周期,则∠AOP=2π3,∴|PA|=6❑√3,故D叙述正确.故选C.6.答案54解析因为sin2α+cos2α=1,所以原式=cos2α+sin2αcos2α-2sinαcosα+5sin2α=1+tan2α1-2tanα+5tan2α.将tanα=13代入上式,原式=1+191-23+5×19=9+19-6+5=54.7.答案①③解析①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;②函数y=cos2x的最小正周期为π,由图象知y=|cos2x|的最小正周期为π2;③y=cos(2x+π6)的最小正周期T=2π2=π;④y=tan2x的最小正周期T=π2.因此①③的最小正周期为π.8.答案5π18解析由x∈[π6,m],可知5π6≤3x+π3≤3m+π3, f(π6)=cos5π6=-...
