5.2.2同角三角函数的基本关系分层演练综合提升A级基础巩固1.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是()A.14B.12C.1D.32答案:C2.设θ∈0,π2,若sinθ=13,则cosθ等于()A.❑√23B.23C.❑√63D.2❑√23答案:D3.下列四个结论中可能成立的是()A.sinα=12,且cosα=12B.sinα=0,且cosα=-1C.tanα=1,且cosα=-1D.α是第二象限角时,tanα=-sinαcosα答案:B4.(1+tan215°)cos215°的值等于()A.1-❑√32B.1C.-12D.12答案:B5.已知sinα+cosα=❑√33,求tanα+1tanα及sinα-cosα的值.解:将sinα+cosα=❑√33两边平方,得1+2sinαcosα=13,所以sinαcosα=-13.所以tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin2α+cos2αsinαcosα=1sinαcosα=-3,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+23=53,所以sinα-cosα=±❑√153.B级能力提升6.已知α是第三象限角,化简❑√1+sinα1-sinα-❑√1-sinα1+sinα=()A.tanαB.-tanαC.-2tanαD.2tanα解析:原式=❑√(1+sinα)2(1-sinα)(1+sinα)-❑√(1-sinα)2(1+sinα)(1-sinα)=❑√(1+sinα)2cos2α-❑√(1-sinα)2cos2α=1+sinα|cosα|-1-sinα|cosα|=2sinα|cosα|.因为α是第三象限角,所以cosα<0,所以原式=2sinα-cosα=-2tanα.答案:C7.在△ABC中,若❑√2sinA=❑√3cosA,则角A=π3.解析:由题意,知cosA>0,即A为锐角.将❑√2sinA=❑√3cosA两边平方,得2sin2A=3cosA,所以2cos2A+3cosA-2=0,解得cosA=12或cosA=-2(舍去),所以A=π3.8.已知tan2α1+2tanα=13,α∈π2,π.(1)求tanα的值;(2)求sinα+2cosα5cosα-sinα的值.解:(1)由tan2α1+2tanα=13,得3tan2α-2tanα-1=0,解得tanα=-13或tanα=1.因为α∈π2,π,所以tanα<0,所以tanα=-13.(2)由(1),得tanα=-13,所以sinα+2cosα5cosα-sinα=tanα+25-tanα=-13+25-(-13)=516.9.求证:cosα1+sinα-sinα1+cosα=2(cosα-sinα)1+sinα+cosα.证明:左边=cosα(1+cosα)-sinα(1+sinα)(1+sinα)(1+cosα)=cos2α-sin2α+cosα-sinα1+sinα+cosα+sinαcosα=(cosα-sinα)(cosα+sinα+1)12(cosα+sinα)2+sinα+cosα+12=2(cosα-sinα)(cosα+sinα+1)(sinα+cosα+1)2=2(cosα-sinα)1+sinα+cosα=右边.所以原等式成立.C级挑战创新10.多空题若tanα+1tanα=3,则sinαcosα=13,tan2α+1tan2α=7.解析:因为tanα+1tanα=3,所以sinαcosα+cosαsinα=3,即sin2α+cos2αsinαcosα=3,所以sinαcosα=13,tan2α+1tan2α=(tanα+1tanα)2-2tanα·1tanα=9-2=7.
