专题研究2数学归纳法1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D．0答案C解析边数最少的凸n边形是三角形．2．(2017·山东德州一模)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1，在验证n＝1时，左边的式子为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23答案D解析当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D.3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10答案B解析1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7.∴初始值至少应取8.4．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.B.＋C.＋D.＋＋答案D5．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34·34k＋1＋52·52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)答案A解析因为要使用归纳假设，必须将34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变形为56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．6．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝__________．答案解析c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，故由归纳推理得cn＝.7．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn.(1)求S1，S2，S3；(2)猜想Sn的表达式并证明．答案(1)S1＝，S2＝，S3＝(2)Sn＝，证明略解析(1)由(S1－1)2＝S12，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.(2)猜想：Sn＝.证明：①当n＝1时，显然成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝成立．则当n＝k＋1时，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝＝＝.1从而n＝k＋1时，猜想也成立．综合①②得结论成立．8．已知函数f(x)＝x－sinx，数列{an}满足：0
0，所以f(x)在(0，1)上是增函数．又f(x)在[0，1]上连续，从而f(0)0，所以ak－ak＋1<0.又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2.所以n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N时有an
