3.2简单的三角恒等变换(一)1.下列各式中,值为的是(B)(A)sin15°cos15°(B)cos2-sin2(C)(D)解析:选项A中,原式=sin30°=;选项B中,原式=cos=;选项C中,原式=×=tan60°=;选项D中,原式=cos30°=.故选B.2.若cosα=,且α∈(0,π),则cos的值为(A)(A)(B)-(C)±(D)±解析:因为0<α<π,所以0<<,所以cos==,故选A.3.若函数f(x)=sin2x-(x∈R),则f(x)是(D)(A)最小正周期为的奇函数(B)最小正周期为π的奇函数1(C)最小正周期为2π的偶函数(D)最小正周期为π的偶函数解析:f(x)=-=-cos2x.故选D.4.若tanα>0,则(C)(A)sinα>0(B)cosα>0(C)sin2α>0(D)cos2α>0解析:因为sin2α=>0,所以C正确,故选C.5.已知tan(-α)=3,则等于(C)(A)-(B)(C)-(D)解析:tan(-α)=3,则tanα=-3,所以====-,故选C.6.已知tanα=-,则的值为(C)(A)2(B)-2(C)3(D)-3解析:====3,故选C.27.已知α∈(-π,-),tanα=,则cos(-α)+2sin2等于(B)(A)(B)(C)1(D)-或解析:因为α∈(-π,-),tanα=,所以sinα=-,cosα=-,而cos(-α)+2sin2=-sinα+(1-cosα)=+(1+)=,故选B.8.若α∈(3π,4π),则-等于(B)(A)-sin(+)(B)sin(+)(C)-sin(-)(D)sin(-)解析:原式=-=|cos|-|sin|,又α∈(3π,4π),所以∈(π,2π),所以原式=cos+sin=sin(+).9.已知α∈(-,0),cosα=,则tan=.解析:α∈(-,0),cosα=sin⇒α=-,tan===-.答案:-10.若=-,则sin2α=.3解析:===(sinα+cosα)=-,所以sinα+cosα=-,所以两边平方可得1+sin2α=,所以sin2α=-.答案:-11.函数y=cos(x+5°)+3cos(x+50°)的值域是.解析:因为y=cos(x+5°)+3cos(x+5°+45°)=cos(x+5°)+3cos(x+5°)cos45°-3sin(x+5°)sin45°=4cos(x+5°)-3sin(x+5°)=5sin(x+5°+θ)(θ为辅助角),从而所求函数的值域是[-5,5].答案:[-5,5]12.已知函数f(x)=sinx+cosx在x0处取得最大值,则cos(x0-π)=.解析:f(x)=sinx+cosx=2sin(x+),当x=x0时,f(x)取得最大值,所以x0+=+2kπ,x0=2kπ+,所以cos(x0-π)=cos(π-x0)=-cosx0=-cos(2kπ+)=-.答案:-13.已知tan2θ=(<θ<π),求的值.解:因为tan2θ==,所以tanθ=-3或tanθ=.又θ∈(,π),所以tanθ=-3.4所以====-.14.设α∈(,2π),化简:.解:因为α∈(,2π),所以cosα>0,∈(π,π),cos<0.故原式=====-cos.15.求证:=.证明:原式等价于1+sin4θ-cos4θ=(1+sin4θ+cos4θ),即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ)(*)而(*)式右边=tan2θ(1+cos4θ+sin4θ)=(2cos22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin22θ=sin4θ+1-cos4θ=左边,所以(*)式成立,原式得证.516.已知非零实数a,b满足关系式=tan,则的值是(C)(A)(B)-(C)(D)-解析:==tan(+θ)=tan=tan(+),其中sinθ=,cosθ=,所以θ=+kπ,k∈Z.所以=tanθ=tan(+kπ)=tan=.故选C.17.已知α,β均为锐角,且sin2α=2sin2β,则(A)(A)tan(α+β)=3tan(α-β)(B)tan(α+β)=2tan(α-β)(C)3tan(α+β)=tan(α-β)(D)3tan(α+β)=2tan(α-β)解析:因为sin2α=2sin2β,所以====3,即tan(α+β)=3tan(α-β),故选A.18.等于.6解析:=====-4.答案:-419.已知tanα,tanβ是关于x的方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根,且α,β∈(-,),则tan的值是.解析:因为tanα,tanβ是关于x的方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根,所以又因为-<α<,-<β<,所以-<α<0且-<β<0.所以-π<α+β<0,所以tan(α+β)===,所以-π<α+β<-,即-<<-,所以tan<0.由tan(α+β)==,解得tan=-2或tan=(舍去).答案:-2720.(1)已知cos(+x)=,且
