配餐作业(五十九)最值、范围问题(时间：40分钟)1．如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为。(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2。解析(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝。所以椭圆的方程为＋y2＝1。(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0。由已知得(1,1)在椭圆外，则Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝。从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)·＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2。故直线AP与AQ的斜率之和为2。答案(1)＋y2＝1(2)见解析2．已知圆E：x2＋2＝经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线。直线l交椭圆C于M，N两点，且MN＝λOA(λ≠0)。(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程。解析(1) F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，∴AF2⊥F1F2。由x2＋2＝，得x＝±，∴c＝，|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2。 a2＝b2＋c2，∴b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1。(2)由题意知，点A的坐标为(，1)， MN＝λOA(λ≠0)，∴直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋m，联立消去y并整理得x2＋mx＋m2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，Δ＝2m2－4m2＋8>0，∴－2b>0)的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4。(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，AC·BD＝0，求|AC|＋|BD|的取值范围。解析(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2面积取最大值，此时S△PF1F2＝·|F1F2|·|OP|＝bc，∴bc＝4， e＝，∴b＝2，a＝4，∴椭圆的方程为＋＝1。(2)由(1)得椭圆的方程为＋＝1，则F1的坐标为(－2,0)， AC·BD＝0，∴AC⊥BD。①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|AC|＋|BD|＝6＋8＝14。②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k(x＋2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，∴∴|AC|＝|x1－x2|＝，此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)，同理，由可得|BD|＝，∴|AC|＋|BD|＝＋＝，令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，∴|AC|＋|BD|＝， t>1，∴0<≤，∴|AC|＋|BD|∈。由①②可知，|AC|＋|BD|的取值范围是。答案(1)＋＝1(2)4．(2016·贵阳监测)设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且PF1·PF2的最小值为0。(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值。解析(1)设P(x，y)，则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，∴PF1·PF2＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，x∈[－a，a]，由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1。(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，则Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，化简得：m2＝2k2＋1。设d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝。①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，∴|MN|＝·|d1－d2|，∴S＝··|d1－d2|·(d1＋d2)＝＝＝， m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋>2，即S<2。②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S＝2。∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2。答案(1)＋y2＝1(2)2(时间：20分钟)1．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，直线l：y＝x＋2与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切。(1)求椭圆C1的方程；(2)抛物线C2：y2＝2px(p>0)与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不同的...
