2.2.2双曲线的几何性质课时过关·能力提升1.双曲线的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列,则它的离心率为()A.43B.53C.2D.3解析:因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,所以4b=2a+2c,即a+c=2b,再由a2+b2=c2即可求得离心率e¿53.答案:B2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的√2倍,且一个顶点的坐标为¿0,2),则双曲线的标准方程为()A.x24−y24=1B.y24−x24=1C.y24−x28=1D.x28−y24=1解析:由方程组{a=2,2a+2b=2√2c,a2+b2=c2,得a=2,b=2.∵双曲线的焦点在y轴上,∴双曲线的标准方程为y24−x24=1.答案:B3.过点(2,-2)且与x22−y2=1有公共渐近线的双曲线方程为()A.−x24+y22=1B.x24−y22=1C.−x22+y24=1D.x22−y24=1解析:由题意可设双曲线方程为x22−y2=k(k∈R,且k≠0),又双曲线过点(2,-2),代入即可求得k,从而求出双曲线方程为−x24+y22=1.答案:A4.F1,F2是双曲线C的两个焦点,P是双曲线右支上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为()A.1+√2B.2+√2C.3−√2D.3+√2解析:△PF1F2为等腰直角三角形,又|PF1|≠|PF2|,故必有|F1F2|=|PF2|,1即2c¿b2a,从而得c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,解之,得e=1±√2,∵e>1,∴e=1+√2.答案:A5.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,则m=()A.1B.2C.3D.4解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点为(0,13),一条渐近线为3y-mx=0,由题意,知1√32+m2=15,解得m=4.答案:D6.已知双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2,焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.解析:∵椭圆x225+y29=1的焦点坐标为(4,0),(-4,0),∴双曲线的焦点坐标也为(4,0),(-4,0),∴c=4,又ca=2,c2=a2+b2,∴a=2,b2=12,∴双曲线的方程为x24−y212=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√3x,即√3x±y=0.答案:(4,0),(-4,0)√3x±y=07.双曲线y225−x216=1的渐近线方程为.解析:利用公式y=±abx可求得渐近线方程为y=±54x.答案:y=±54x8.若双曲线x2k+4+y29=1的离心率为2,则k的值是.答案:-319.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程.2(1)过点P(3,−√2¿,离心率e¿√52;(2)F1,F2是双曲线的左,右焦点,P是双曲线上的一点,∠F1PF2=60°,S△PF1F2=12√3,离心率为2.解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设x2a2−y2b2=1为所求.由e¿√52,得c2a2=54.①由点P(3,−√2¿在双曲线上,得9a2−2b2=1.②又a2+b2=c2,③由①②③,得a2=1,b2=14.若双曲线的焦点在y轴上,设y2a2−x2b2=1为所求.同理有c2a2=54,2a2−9b2=1,a2+b2=c2.解之,得b2=−172¿).故所求双曲线的标准方程为x2−y214=1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1,因|F1F2|=2c,而e¿ca=2,由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c.由余弦定理,得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|·(1-cos60°),∴4c2=c2+|PF1|·|PF2|.又S△PF1F2=12∨PF1|·|PF2|·sin60°=12√3,∴|PF1|·|PF2|=48.由3c2=48,∴c2=16,得a2=4,b2=12.∴所求双曲线的标准方程为x24−y212=1.★10.如图所示,已知F1,F2为双曲线x2a2−y2b2=1¿a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.3分析:由于双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,故只需求出ba的值即可,可以通过已知解Rt△F1F2P求得.解:方法一:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0)代入方程得y0=±b2a,∴|PF2|¿b2a.在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|F1F2|¿√3∨PF2|,即2c¿√3·b2a.又∵c2=a2+b2,∴b2=2a2.∴ba=√2.故所求双曲线的渐近线方程为y=±√2x.方法二:∵在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a.∴|F1F2|¿√3∨PF2|.∴2c=2√3a,即c2=3a2=a2+b2.∴2a2=b2.∴ba=√2,故所求双曲线的渐近线方程为y=±√2x.4
