专题限时集训(十四)导数的综合应用(建议用时：40分钟)1．(2019·唐山模拟)设f(x)＝2xlnx＋1
(1)求f(x)的最小值；(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2lnx
[解](1)f′(x)＝2(lnx＋1)．所以当x∈时，f′(x)0，f(x)单调递增．所以当x＝时，f(x)取得最小值f＝1－
(2)证明：x2－x＋＋2lnx－f(x)＝x(x－1)－－2(x－1)lnx＝(x－1)，令g(x)＝x－－2lnx，则g′(x)＝1＋－＝≥0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以当00)，f′(x)＝3x2－1－＝＝
∵3x2＋3x＋2>0恒成立，∴当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增；当x∈(0,1)时，f′(x)0)，所以f′(x)＝－x(x>0)．令f′(x)＝0，得x＝1
由f′(x)>0，得00，所以G(x)在(0，＋∞)上是增函数．又G(1)＝－m＋2>0，所以关于x的不等式F(x)≤mx－1不能恒成立．当m>0时，G′(x)＝＝－
令G′(x)＝0，得x＝，所以当x∈时，G′(x)>0；当x∈时，G′(x)0，h(2)＝－ln20)，则h′(x)＝
令φ(x)＝2lnx＋x，因为φ＝－ln40，且φ(x)为增函数，所以存在x0∈，使φ(x0)＝0，即2lnx0＋x0＝0
当0x0时，h′(x)x0>1得＜1＜x0
又f＝ln－－1＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
