专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为❑√3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.❑√5B.2❑√2C.2❑√3D.3❑√32.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.2❑√2C.2D.❑√23.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=❑√33(x-1)或y=-❑√33(x-1)C.y=❑√3(x-1)或y=-❑√3(x-1)D.y=❑√22(x-1)或y=-❑√22(x-1)4.已知倾斜角为30°的直线l经过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1,交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线经过右焦点F2,则此双曲线的渐近线方程为.5.(2019北京人大附中信息考试,18)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,2),点A,B是抛物线C上不同两点,且AB∥OM(其中O是坐标原点),直线AO与BM相交于点P,线段AB的中点为Q.(1)求抛物线C的准线方程;(2)求证:直线PQ与x轴平行.6.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为❑√32.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-❑√3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.8.(2019四川高三冲刺演练,20)已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点且与此抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,|AB|<8,直线l与抛物线y=x2-4相交于M,N两点,且M,N两点在y轴的两侧.(1)证明:y1y2为定值;(2)求直线l的斜率的取值范围;(3)若⃗OM·⃗ON=-48(O为坐标原点),求直线l的方程.二、思维提升训练9.(2019重庆一中月考,20)如图,点C,D是离心率为12的椭圆的左、右顶点,F1,F2是该椭圆的左、右焦点,点A,B是直线x=-4上的两个动点,连接AD和BD,分别与椭圆相交于E,F两点,且线段EF恰好经过椭圆的左焦点F1.当EF⊥CD时,点E恰为线段AD的中点.(1)求椭圆的方程;(2)判断以AB为直径的圆与直线EF的位置关系,并加以证明.10.(2019全国Ⅰ,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.11.(2019湖南怀化质检,20)已知F(12,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点N(x0,y0)(y0>0)为其上一点,点M与点N关于x轴对称,直线l与抛物线交于异于点M,N的A,B两点,|NF|=52,kNA·kNB=-2.(1)求抛物线的标准方程和点N的坐标;(2)判断是否存在这样的直线l,使得△MAB的面积最小.若存在,求出直线l的方程和△MAB面积的最小值;若不存在,请说明理由.专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=❑√3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,2❑√3).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2❑√3).因为F(1,0),所以直线NF:y=-❑√3(x-1).所以M到直线NF的距离为|❑√3×(3-1)+2❑√3|❑√(-❑√3)2+12=2❑√3.2.C解析设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2❑√(❑√2)2-12=2.3.C解析由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在△AMK中,由|BN||AM|=|BK||AK|,得t3t=xx+4t,解得x=2t,则cos∠NBK=|BN||BK|=tx=12,∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.∴斜率k=tan60°=❑√3,故直线方程为y=❑√3(x-1).当直线l的斜率小于0时...
