单元小练7数列、推理与证明一、填空题1．若数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8=．2．用反证法证明命题：“如果m，n∈N，mn可被3整除，那么m，n中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为．3．在等差数列{an}中，若a2+a9=5，则3a5+a7=．4．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1=2a8-3a4，则816SS=．5．设数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，那么S5=．6．已知223=223338，=3344815，=4415，…，若6at=6at(a，t均为正实数).类比以上等式，可推测a，t的值，则t+a=．7．在数列{an}中，若a1=4，1na=f(an)，依照下表，则a2015=．x12345f(x)543128．已知数列{an}为等差数列，公差为d，若1110aa<-1，且它的前n项和Sn有最大值，则使Sn<0的n的最小值为．9．已知函数f(x)=exx，定义f1(x)=f'(x)，f2(x)=[f1(x)]'，…，fn+1(x)=[fn(x)]'，n∈N.经计算f1(x)=1-exx，f2(x)=-2exx，f3(x)=3-exx，…，照此规律，则fn(x)=．10.已知函数f(n)=n2cos(nπ)，且an=f(n)+f(n+1)，那么a1+a2+a3+…+a100=.1二、解答题11．设函数f(x)=133x，先分别求出f(0)+f(1)，f(-1)+f(2)，f(-2)+f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=an+1(n∈N*).(1)求a1，a2的值；(2)设bn=log3|an|，求数列{bn}的通项公式.13．已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列54nS是等比数列.【单元小练答案】单元小练7数列、推理与证明1.15【解析】a8=S8-S7=64-49=15.2.m，n∈N，m，n都不能被3整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个都没有”.3.10【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为a2+a9=5，所以2a1+9d=5，所以3a5+a7=3a1+12d+a1+6d=4a1+18d=2(2a1+9d)=10.4.310【解析】由题意可得a1=2a1+14d-3a1-9d，所以a1=52d，816SS=1182816120adad=202840120dddd=48160dd=310.25.314【解析】设此数列的公比为q(q>0)，由a2a4=1，得23a=1，所以a3=1.由S3=7，知a3+3aq+32aq=7，即6q2-q-1=0，解得q=12，所以a1=4，所以S5=5141-211-2=314.6.41【解析】观察下列等式：223=223338，=3344815，=4415，…，照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2-1=35，a+t=41.7.5【解析】由题意a2=f(a1)=f(4)=1，a3=f(a2)=f(1)=5，a4=f(a3)=f(5)=2，a5=f(a4)=f(2)=4，a6=f(a5)=f(4)=1，则数列{an}的周期性出现，其周期为4，a2015=a4×503+3=a3=5.8.20【解析】根据Sn有最大值知d<0，则a10>a11，由1110aa<-1知a10>0>a11，且a11<-a10，即a10+a11<0，从而S19=11919()2aa=19a10>0，S20=12020()2aa=10(a10+a11)<0，则使Sn<0的n的最小值为20.9.fn(x)=(-1)(-)enxxn【解析】求导数后分母都是ex，分子为(-1)n(x-n)，所以fn(x)=(-1)(-)enxxn.10.-100【解析】因为f(n)=n2cos(nπ)，所以a1+a2+a3+…+a100=[f(1)+f(2)+…+f(100)]+[f(2)+…+f(101)]，f(1)+f(2)+…+f(100)=-12+22-32+42-…-992+1002=(22-12)+(42-32)+…(1002-992)=1+2+3+4+…+99+100=100(1100)2=5050，f(2)+…+f(101)=22-32+42-…-992+1002-1012=(22-32)+(42-52)+…+(1002-1012)=-(2+3+4+5+…+100+101)=-100(2101)2=-5150，所以a1+a2+a3+…+a100=[f(1)+f(2)+…+f(100)]+[f(2)+…+f(101)]=-5150+5050=-100.311.f(0)+f(1)=0133+1133=113+13(13)=33(13)+13(13)=33，同理可得f(-1)+f(2)=33，f(-2)+f(3)=33.由此猜想f(x)+f(1-x)=33.证明：f(x)+f(1-x)=133x+1-133x=133x+3333xx=133x+33(33)xx=333(33)xx=33.12.(1)由已知得4S1=a1+1，即4a1=a1+1，所以a1=13.又因为4S2=a2+1，即4(a1+a2)=a2+1，所以a2=-19.(2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=14(an+1)-14(an-1+1)，即3an=-an-1，由题意知数列各项不为零，所以-1nnaa=-13对n≥2恒成立，所以{an}是首项为13、公比为-13的等比数列，所以an=13·-11-3n=(-1)n-13-n，所以log3|an|=log33-n=-n，即bn=-n.13.(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d.依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7-d，10，18+d.4依题意，得(7-d)(18+d)=100，解得d=2或d=-13(舍去)，所以b3=5，公比q=2，所以b1=54，所以bn=54·2n-1=5·2n-3.(2)由(1)知b1=54，公比q=2，所以Sn=5(1-2)41-2n=5·2n-2-54，所以Sn+54=5·2n-2.因为S1+54=-1554524nnSS，=-2-35252nn=2(n≥2)，所以数列54nS是以52为首项、2为公比的等比数列.5
