第二章圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．抛物线y＝4x2的准线方程是()A．x＝1B．x＝－1C．y＝D．y＝－解析：选D由抛物线方程x2＝y，可知抛物线的准线方程是y＝－.2．(全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.3．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：选C由于θ∈R，对sinθ的值举例代入判断：sinθ可以等于1，这时曲线表示圆；sinθ可以小于0，这时曲线表示双曲线；sinθ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．4．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x解析：选C由已知得到b＝1，c＝，a＝＝，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±x＝±x.5．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于()A.或B.或2C.或2D.或解析：选A设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝.6．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选D由题意得点P到直线x＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线．7．(天津高考)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝11(A卷学业水平达标)解析：选D由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立解得或即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为－＝1.故选D.8．已知|AB|＝3，点A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP＝OA＋OB，则动点P的轨迹方程是()A.＋y2＝1B．x2＋＝1C.＋y2＝1D．x2＋＝1解析：选A设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.因为|AB|＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1.9．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝xB．y2＝xC．x2＝－yD．x2＝－y解析：选C如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝，符合题意．10．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B.C.D.解析：选D将y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.设A(x1，y1),B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，＝5，解得k2＝.又因为k＞0，所以k＝.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：＋＝112．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．2解析：由题意知|F1F2|＝2＝4，设P点坐标为(x，y)．由得则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝.答案：13．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4.点R是直线l上的一点．若RA―→＝AP―→，则点P的轨迹方程为________．解析：设P(x，y)，R(a,2a－4)，则RA―→＝(1－a,4－2a)，AP―→＝(x－1，y)． RA―→＝AP―→...
