第4讲转化与化归的思想「思想方法解读」转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1特殊与一般的转化例1(1)过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于()A．2aB.C．4aD.答案C解析抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)．焦点F，取过焦点F的直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，所以＋＝4a.(2)在平行四边形ABCD中，|AB|＝12，|AD|＝8.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B．15C．36D．6答案C解析解法一：由BM＝3MC，DN＝2NC知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝DC，所以AM＝AB＋AD，AN＝AD＋DN＝AD＋AB，所以NM＝AM－AN＝AB＋AD－＝AB－AD，所以AM·NM＝·＝·＝＝＝36，故选C.解法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12,6)，N(8,8)，所以AM＝(12,6)，NM＝(4，－2)，所以AM·NM＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．11．(2019·甘青宁高三3月联考)若函数f(x)＝1＋x3，则f(lg2)＋f＝()A．2B．4C．－2D．－4答案A解析 f(x)＝1＋x3，∴f(－x)＋f(x)＝2， lg＝－lg2，∴f(lg2)＋f＝2，故选A.2．(2019·济南市高三3月模拟)已知函数f(x)＝则f(3－x2)>f(2x)的解集为()A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B．(－3,1)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1,3)答案B解析当x<0时，f(x)＝x3－x2，f′(x)＝x2－x， x<0，∴f′(x)>0，f(x)单调递增，且x→0时，f(x)→0，∴f(x)<0；当x≥0时，f(x)＝ex单调递增，且f(x)≥f(0)＝1.因此可得f(x)在整个定义域上单调递增，∴f(3－x2)>f(2x)可转化为3－x2>2x.解得－30)，方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(3，＋∞)D．(4，＋∞)答案D2解析 f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，∴f′(x)＝3ax2＋(1－a)．若a≤1，则f′(x)≥0，f(x)单调递增，此时方程f[f(x)]＝b不可能有9个不等实根，故a>1.令f′(x)＝0，得x＝±，不妨令x1＝－，x2＝. 当a>1时，a－1<3a，∴－10，解得a>4，故实数a的取值范围为(4，＋∞)．故选D.函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题...
