2018年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标54圆锥曲线的综合问题理[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是每年高考卷中的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的特点就是起点低、难度大，在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对学生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题．1．(2017·山西四校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若AM＝2MB，求直线l的方程．解析：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，因为c＝1，＝，所以a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)由题得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，则由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM＝2MB得x1＝－2x2，又所以消去x2得2＝，解得k2＝，k＝±，所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.2．已知拋物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，OA·OB＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．解析：(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4.因为OA·OB＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.(2)(1)中(*)式可化为y2－4my＋8＝0，y1＋y2＝4m，y1y2＝8.设AB的中点为M，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又|AB|＝|y1－y2|＝，②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±.所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且长轴长等于4.(1)求椭圆C的方程；(2)F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若OA·OB＝－，求k的值．解析：(1)由题意，椭圆的长轴长2a＝4，解得a＝2.因为点在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由直线l与圆O相切，得＝1，即m2＝1＋k2.1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x1＋x2＝－，x1·x2＝.y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1·x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·＋km·＋m2＝.所以x1x2＋y1y2＝＋＝.因为m2＝1＋k2，所以x1x2＋y1y2＝.又因为OA·OB＝－，所以＝－，解得k2＝，所以k＝±.4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2.(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．解析：(1)根据题意，设AB的中点为Q(1，t)，则kAB＝＝＝.由P，Q两点得线段AB的中垂线的斜率k＝t－2，由(t－2)·＝－1，得t＝.∴直线AB的方程为y＝x－.(2)由(1)知直线AB的方程为y－t＝(x－1)，线段AB的中垂线方程为y－t＝－(x－1)，中垂线交x轴于点M(3，0)，点M到直线AB的距离d＝＝.由得4x2－8x＋(t2－2)2＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴|AB|＝·|x1－x2|＝，∴S＝|AB|·d＝＝≤×＝.当t2＝时，S有最大值，此时直线AB的方程为3x±y－1＝0.5．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，直线y＝kx(k≠0)与椭圆M交于A，B两点，直线y＝－x与椭圆M交于C，D两点，椭圆M的离心率为，若弦AC的长的最小值为，求椭圆M的方程．解析：可将椭圆方程可化为x2＋2y2＝a2，联立方程，得可得x2＝，y2＝，设O为坐标原点，则|OA|2＝，同理可得|OC|2＝.由已知条件可知直线y＝kx与y＝－x垂直，所以|AC|2＝|OA|2＋|OC|2＝＋＝a2·＝a2·≥.当且仅当k＝±1时取等号，所以＝，即a2＝2，所以椭圆M的方程为＋y2＝1.6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点，右焦点为F2.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为－，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求F2P·F2Q的取值范围．解析：(1)因为焦距为2，所以a2－b2＝1.因为椭圆C过点，所以＋＝1，故a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意...
