第2课时直线与椭圆的位置关系A级基础巩固一、选择题1．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A．1B．1或2C．2D．0解析：因为直线过定点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．答案：C2．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m>1B．m>0C．00且m≠5，所以m≥1且m≠5.答案：D3．点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是()A．－＜a＜B．a＜－或a＞C．－2＜a＜2D．－1＜a＜1解析：由A(a，1)在椭圆内部，则＋＜1，即a2＜2，则－＜a＜.答案：A4．过椭圆＋＝1内的一点P(2，－1)的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在的直线方程是()A．5x－3y－13＝0B．5x＋3y－13＝0C．5x－3y＋13＝0D．5x＋3y＋13＝0解析：设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则故×＋×＝0，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，故斜率k＝.故直线方程为y＋1＝(x－2)，即5x－3y－13＝0.答案：A5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，1有＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－·＝，因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以＝.因为右焦点为F(3，0)，c＝3，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的方程为＋＝1.答案：D二、填空题6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．解析：由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.所以弦长|MN|＝|x1－x2|＝＝＝.答案：7．若A为椭圆x2＋4y2＝4的右顶点，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．解析：由题意得，该三角形的两直角边关于x轴对称，且其中一边在过点A(2，0)，斜率为1的直线上，此直线的方程为y＝x－2，将y＝x－2代入x2＋4y2＝4，得5x2－16x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝.把x＝代入椭圆方程得y＝±，所以三角形的面积S＝××＝.答案：8．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________．解析：由消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.则MN的中点P的坐标为.所以kOP＝＝.答案：三、解答题9．判断直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1的位置关系．解：由可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，所以Δ＝16(16k2－5)．(1)当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1相交．(2)当Δ＝16(16k2－5)＝0，即k＝或k＝－时，直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1相切．(3)当Δ＝16(16k2－5)＜0，即－＜k＜时，直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1相离．10．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0，4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0，4)代入C的方程得＝1，所以b＝4.2又e＝＝，得＝，则1－＝，所以a＝5，所以C的方程为＋＝1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，所以AB的中点坐标x＝＝，y＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为.B级能力提升1．若直线y＝x＋t与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，当t变化时，|AB|的最大值为()A．2B.C.D.解析：将y＝x＋t代入＋y2＝1，得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由|AB|＝×＝，当t＝0时|AB|最大，最大为×＝.答案：C2．若倾斜角为的直线交椭圆＋y2＝1于A、B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________．解析：设中点坐标为(x，y)，直线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x＋4y＝0，由Δ>0，得－...
