第41课数列的递推关系与求和(本课对应学生用书第88-89页)自主学习回归教材1.递推数列(1)概念:数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递推关系.由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列.(2)求递推数列通项公式的常用方法:迭代法、构造法、累加(乘)法、归纳猜想法.2.常用的一般数列的求和方法(1)公式法:若可以判断出所求数列是等差(等比)数列,则可以直接利用公式进行求和.若数列不是等差数列,也不是等比数列,有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和.(2)分组转化法:把数列的每一项拆成两项的差(或和),或把数列的项重新组合,使其转化为等差或等比数列.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项的差(或和),使求和时出现的一些正负项相互抵消,于是前n项和变成首尾两项或少数几项和(差).(4)倒序相加法:把Sn中项的顺序首尾颠倒过来,再与原来顺序的Sn相加.这种方法体现了“补”的思想,等差数列的前n项和公式就是用它推导出来的.事实上,如果一个数列倒过来与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项和可求出来,那么这样的数列就可以用倒序相加法求和.(5)错位相减法:数列{anbn}的求和问题应用此法,其中{an}是等差数列,{bn}是等比数列.1.(必修5P55练习4改编)求和:101(2)kkk=.[答案]2101[解析]1+2+…+10=55,2+22+…+210=2046.2.(必修5P68复习题13(1)改编)数列1(1)nn的前n项和Sn=.[答案]1nn1[解析]1(1)nn=1n-11n,Sn=1-11n=1nn.3.(必修5P41习题13改编)已知数列{an}满足:a1=1,an=n+an-1(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式为.?[答案]an=(1)2nn[解析]an=n+an-1可变形为an-an-1=n(n≥2,n∈N*),由此可写出以下各式:an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,an-2-an-3=n-2,…,a2-a1=2,将以上等式两边分别相加,得an-a1=n+(n-1)+(n-2)+…+2,所以an=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=(1)2nn.4.(必修5P68复习题12改编)数列1(1)2nn的前n项和Tn=.[答案]3-32nn[解析]由an=(n+1)12n,得Tn=2×12+3×212+4×312+…+(n+1)12n,①12Tn=2×212+3×312+4×412+…+(n+1)·112n,②由①-②,得12Tn=1+212+312+…+12n-(n+1)·112n=1+-1111-4211-2n-(n+1)112n=32-132nn.所以Tn=3-32nn.25.(必修5P63阅读改编)在斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…中,an,an+1,an+2的关系是.[答案]an+2=an+an+13
