高二数学 不等式证明的常用技巧典型例题分析VIP免费

不等式证明的常用技巧·例题例5-2-13求证：(2)若a＞b＞c＞0，d＞c，ac＞bd，则a+c＞b+d。解(1)因x+y+z=1，故可设其中t1+t2+t3=0，于是(2)因a＞b，d＞c，故可设a=b+t1，d=c+t2，其中t1＞0，t2＞∴(a+c)-(b+d)=(a-b)-(d-c)=t1-t2＞0∴a+c＞b+d用心爱心专心1注①用n个数的平均数与适当参数来表示这n个数的代换通常称为均值代换，如(1)中施行的代换。这种代换的特点是利用对称性可使运数组，不能保证由上述代换而得到。如x=y=0，z=1就不存在对应的t值。②当a＞b时，令a=b+t(t＞0)，其中t是a用b表示时引进的增量。这种代换通常称为增量代换。它的特点是把条件中的不等关系转化为相等系，使得变形过程简化。例5-2-14求证：解(1)由a＞0，b＞0，a+2b=1，可设则有用心爱心专心2(2)因a＞b＞0，且(a-b)+b=a，故可设这时，原不等式等价于故只须证明这个不等式显然成立。事实上，因为0＜cosθ＜1，0＜sinθ＜1又故原不等式得证。注代数问题三角化，往往可充分利用三角函数的特有性质，使较为复杂的问题得以简化，从而获得简捷解法。例5-2-15求证：(1)|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则abc+2＞a+b+c；(2)ai，bi∈R(i=1，2，3)，且ai≠0，则(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32+)(b12+b22+b32)当且仅当bi=λai时取等号。解(1)原不等式等价于用心爱心专心3(bc-1)a+(2-b-c)＞0构造一次函数f(x)=(bc-1)x+(2-b-c)(-1＜x＜1)则f(-1)=(1-bc)+(1-b)+(1-c)＞0f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)＞0于是，根据一次函数的单调性，f(x)在区间[-1，1]上恒大于0。而a∈(-1，1)，故f(a)＞0，即(bc-1)a-b-c+2＞0。所以abc+2＞a+b+c(2)构造二次函数f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2(当且仅当bi=λai，λ∈R时取等号)所以注函数思想是解决数学问题的重要思想，应用广泛。在不等式证明中，若能要据其结构特征，构造相应的函数，则可充分利用函数的性质，使问题简明。(2)中不等式及其证明可推广到一般情形：若ai，bi∈R(i∈1，2，…n)，且ai≠0，则(a1b1+…+anbn)2≤(a12+…+an2)·(b12+…+bn2)这就是著名的柯西不等式。柯西不等式不仅应用广泛，而且它的证明方法，即构造二次函数并通过其判别式证明不等式的方法，堪称构造法的典范。用心爱心专心4解[法一]由x+y=1，可令则原不等式=5+2(tg2θ+ctg2θ)≥5+2×2=9又x+y=1，根据韦达定理，x，y是关于t的二次方程的实根。因x，y为实数，故注方法2通过构造方程证明不等式，足以表明方程与不等式的密切联系。此法也不失为一种巧妙方法。例5-2-17设n∈N，求证：解(1)采取逐项放缩的方法。由于用心爱心专心5令1，2，…，n，则有……………………依项相加，即得(2)设并引进辅助式比较两式的对应因式可知用心爱心专心6注用放缩法证不等式，常通过拆项、分组、加强命题等方式进行。此法没有固定模式，关键在于放缩要适度。放得过宽或缩得太小，都会导致方法失效。例5-2-18已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：当且仅当a=b时右边取等号。解先证右边不等式。则4a+1=(k+t)2，4b+1=(k-t)2所以(4a+1)+(4b+1)=(k+t)2+(k-t)2≥2k2[法二]用三角代换。因(4a+1)(4b+1)=6，故可设用心爱心专心7现在证明左边不等式。可考虑用放缩法。为了将4a+1或4b+1通过放缩配成完全平方式，我们引进正数k，因为0＜a＜1，所以a2＜a，于是用心爱心专心8